신천동초등수학과외

학교 프린트를 정리하던 중, 맞힌 문제 옆에 표시된 삼각기둥 부피 오답 한 줄이 눈에 들어왔습니다. 학생은 삼각형 밑면의 넓이를 구하지 않고, 도형에 적힌 세 변의 길이를 모두 곱해 답을 적었습니다. 채점 결과만 보면 계산을 잘못한 문제처럼 보이지만, 답안의 흐름을 다시 읽어 보니 먼저 살펴볼 부분은 계산 결과가 아니었습니다.

학생은 ‘입체도형에 길이가 세 개 적혀 있으면 모두 곱하면 부피가 된다’고 생각하고 있었습니다. 학교 숙제의 분량을 먼저 끝내려던 오후라 단위와 조건을 말로 확인하지 못했고, 속도를 줄이지 않은 채 다음 연산으로 넘어갔습니다.

정답 표시보다 먼저 보인 세 길이의 선택

처음 풀이에서 학생은 삼각형 밑면을 따로 보지 않았습니다. 삼각기둥이라는 이름이나 도형의 모양을 보고 공식을 고른 것도 아니고, 적혀 있는 길이를 모두 곱하는 방식으로 바로 계산했습니다. 이때의 기준은 ‘무엇을 구하는가’보다 ‘몇 개의 숫자가 보이는가’에 가까웠습니다.

각기둥의 부피는 밑면의 넓이에 기둥의 높이를 곱해 구합니다. 여기서 높이는 아무 길이나 고르는 것이 아니라 두 밑면 사이의 수직거리입니다. 삼각기둥이라면 먼저 삼각형 밑면의 넓이를 구한 뒤, 두 삼각형 밑면 사이의 수직 높이를 곱해야 합니다.

도구를 쓴 것과 원리를 설명한 것은 달랐다

이전에는 문제에 필요한 길이를 찾고 계산 도구를 사용했다는 사실만으로 풀이가 끝났다고 여겼습니다. 그러나 도구를 사용해 숫자를 계산한 것과, 왜 그 숫자를 선택했는지를 설명하는 것은 같은 일이 아니었습니다. 밑면 넓이와 수직 높이를 구분하지 못하면 답이 맞거나 틀린 것과 별개로 다음 문제에서 같은 선택이 반복될 수 있습니다.

그래서 처음 답안을 정답지와 비교하기보다, 첫 식이 어디에서 시작되었는지를 되돌려 보았습니다. 학생이 세 변을 모두 곱한 이유를 자기 말로 설명하게 하자, 도형에 보이는 길이를 모두 사용하면 된다고 생각했다는 기준이 드러났습니다.

밑면을 색칠한 뒤 식의 순서가 달라졌다

설명 후 학생이 먼저 한 행동은 답을 고치는 일이 아니었습니다. 삼각기둥의 밑면을 색칠하고, 그 밑면의 넓이를 먼저 구했습니다. 이어 두 밑면 사이의 수직 높이를 별도로 표시했습니다. 그림에서 밑면과 높이를 나누어 보자 세 변을 한꺼번에 곱하던 식이 왜 맞지 않는지 답안에서 확인할 수 있었습니다.

학교 프린트를 정리할 때도 이 행동을 앞쪽에 배치했습니다. 최종 답만 남기는 대신, ‘밑면 넓이’와 ‘수직 높이’를 구분한 표시가 있는지 살폈습니다. 답과 선택 근거를 나누어 보는 과정이었습니다.

문제 이름을 지운 뒤에도 남은 마지막 습관

다음에는 문제 유형 이름을 가린 자료를 사용했습니다. 밑면이 사다리꼴인 기둥과 높이가 비스듬히 표시된 도형을 보고, 학생이 스스로 밑면과 높이를 찾을 수 있는지 확인했습니다. 첫 행동은 달라졌습니다. 밑면을 먼저 찾고 넓이를 구하려고 했습니다.

다만 마지막 줄에서는 이전 습관이 다시 나타났습니다. 계산한 값을 적은 뒤, 밑면 넓이와 수직 높이를 구분했다는 설명과 단위 층이 쌓여 부피가 된다는 근거가 빠졌습니다. 따라서 ‘변형 문제를 풀었다’는 사실만으로 완전히 정리되었다고 보기는 어려웠습니다. 아직은 풀이의 시작뿐 아니라 끝에서도 같은 기준을 확인해야 합니다.

다음 프린트부터 사용할 분리표

다음 학습에서 사용할 장치는 ‘밑면넓이-높이 분리표’입니다. 학교 프린트를 정리할 때 표에 밑면 넓이와 수직 높이를 따로 적고, 두 값을 곱한 이유를 확인합니다. 맞고 틀린 결과만 보는 것이 아니라, 밑면 넓이와 수직 높이를 구분하고 단위 층의 누적으로 부피를 설명할 수 있는지를 완료 조건으로 둡니다.