감삼동수학과외

좌표 노트에는 점 P(x,y)가 x축과 y축에서 같은 거리에 있다는 문항이 적혀 있었다. 좌표평면에는 y=x 한 직선만 남아 있었고, |x|=|y| 옆의 두 번째 경우는 비어 있었다.

처음에는 거리의 크기를 좌표의 부호까지 같다고 읽었다

답안에서 학생은 x축까지의 거리를 |y|, y축까지의 거리를 |x|로 정확히 적었다. 하지만 절댓값을 없애는 순간 x=y만 남겼고, 좌표평면에도 제1·3사분면을 지나는 직선만 그렸다.

처음 판단 기준은 두 거리가 같으면 x좌표와 y좌표도 같은 부호로 일치해야 한다는 것이었다. 거리의 크기를 비교하는 조건을 좌표 자체가 같다는 조건으로 좁혀 해석한 셈이다.

|x|=|y|에서 빠진 것은 공식이 아니라 경우 분리였다

풀이 기록을 따라가면 거리공식 전체를 몰랐던 것은 아니다. 빠진 부분은 |x|=|y|를 하나의 식으로만 처리하지 않고, x=y와 x=-y의 두 경우로 나누는 절차였다.

축까지의 거리는 좌표의 부호를 지운 크기이므로 부호가 달라도 거리가 같을 수 있다. 따라서 원점을 지나는 두 각의 이등분선이 모두 자취에 포함된다.

두 번째 직선을 숫자로 확인한 뒤 그림을 고쳤다

좌표축 옆에 d(P,x축)=|y|, d(P,y축)=|x|를 적고, |x|=|y| 아래를 x=y와 x=-y로 갈라 썼다. 이어 (2,-2), (-2,2)를 대입해 부호가 다른 점도 두 축까지의 거리가 같은지 확인했다.

이 확인으로 x=-y가 빠진 이유가 드러났다. 계산 결과만 고치는 대신, 절댓값 등식이 여러 직선으로 나뉠 수 있다는 판단 기준을 풀이 줄에 남긴 것이다.

직선이 옮겨진 새 문항에서 두 가지를 다시 꺼냈다

조건이 바뀐 새 문항은 점이 직선 x=2와 y=-1에서 같은 거리에 놓인다는 내용이었다. 학생은 먼저 |x-2|=|y+1|을 세운 뒤, x-2=y+1과 x-2=-(y+1)으로 나누어 두 자취를 구했다.

이번에는 원래 문제의 y=x를 그대로 옮겨 적지 않았다. 바뀐 두 직선에 맞춰 거리식을 새로 만들고, 절댓값 등식의 두 부호 경우를 독립적으로 적용했다는 점이 확인됐다.

그림에 두 직선이 모두 나타났을 때 풀이를 마쳤다

다음 점검에서는 서로 수직인 두 직선이 다른 위치로 바뀌어도 각 거리식을 절댓값으로 쓰는지 확인한다. 양의 경우와 음의 경우를 빠뜨리지 않고 얻은 두 직선을 그림에 나타내면 완료로 본다.