방림동수학과외

고2 미분 공책의 첫 줄에는 f(x)=9가 적혀 있었다. 문제에서 ‘기울기 9’라는 표현에는 밑줄이 있었지만, 그 숫자를 원함수에 바로 대입한 흔적이었다. 학생은 x³-3x=9의 해를 접점으로 찾으려 했다.

답안에는 함숫값과 도함숫값을 연결하는 표시가 없었다. 기울기 9를 원함수의 값으로 해석하면서 접점 후보가 복잡한 삼차방정식의 해로 남았고, 풀이의 출발점부터 문제의 조건과 어긋났다.

높이를 적는 칸과 기울기를 적는 칸

접점의 x좌표를 t라고 두면, 원함수의 값 f(t)는 그 점의 높이를 나타낸다. 반면 도함숫값 f'(t)는 해당 점에서의 접선 기울기다. 두 값은 모두 접선에 사용되지만 역할은 같지 않다.

f(x)=x³-3x이므로 f'(x)=3x²-3이다. 기울기가 9라는 조건은 f'(t)=9로 세워야 하므로, 3t²-3=9에서 t²=4, 즉 t=2,-2를 얻는다. 여기서 두 값은 접점 후보의 x좌표다.

접점 후보를 정한 뒤에 계산한 식

각 후보에서 원함숫값을 계산하면 f(2)=2, f(-2)=-2이다. 접선의 기울기는 두 경우 모두 9이므로 점-기울기 형태인 y-f(t)=9(x-t)에 대입한다.

t=2일 때는 y-2=9(x-2), 따라서 y=9x-16이다. t=-2일 때는 y+2=9(x+2), 따라서 y=9x+16이 된다. 수정 답안에서는 ‘점의 높이 f(t)’와 ‘접선 기울기 f'(t)’를 두 칸으로 나누어 이 순서를 드러냈다.

기울기 -3을 만났을 때 꺼낸 순서

다음 자료에서는 같은 함수에 기울기 -3이 주어졌다. 학생은 이번에는 f(t)=-3을 세우지 않고 f'(t)=-3부터 적어 접점 후보를 정했다. 이후 각 후보의 함숫값을 구하고 접선식을 완성하는 흐름을 혼자 이어 갔다.

따라서 다음 점검에서는 정답 개수보다 첫 표시와 식의 순서를 살핀다. 새 문항에서 주어진 값이 함숫값인지 기울기인지 먼저 표시하고, f'(t)=m → 접점 → 접선식이 도움 없이 이어지면 이 교정이 유지된 것으로 판단할 수 있다.