봉무동수학과외

적분된 식 뒤에서 적분상수 C가 사라진 흔적부터 살펴봤다. 고2 미분·적분 대응표에서 F′(x)=4x-3, F(2)=7을 보고 작성한 첫 답안에는 F(x)=2x²-3x만 남아 있었다.

F(2) 옆의 ‘2’가 보여 준 판단의 빈틈

도함수 4x-3을 적분해 2x²-3x를 얻은 과정 자체는 맞았다. 하지만 답안의 F(2) 옆에는 2라고만 계산되어 있었고, 주어진 값 7과 비교해 C를 정하는 식은 작성되지 않았다.

처음에는 도함수를 한 번 적분하면 원함수가 하나로 정해진다고 판단했다. 그래서 한 점의 조건 F(2)=7을 식을 확인하는 부가 정보처럼 취급했다.

기록에서 드러난 문제는 적분 규칙을 여러 개 헷갈린 것이 아니었다. 부정적분은 상수만큼 다른 함수들을 함께 나타내며, F(2)=7은 그중 하나를 고르는 조건이라는 연결이 빠져 있었다.

점 조건을 식으로 끌어온 뒤 달라진 답안

수정한 풀이에서는 F(x)=2x²-3x+C로 적분상수를 먼저 남겼다. 이어서 F(2)=2+C=7을 별도 줄에 대입해 C=5를 구하고, F(x)=2x²-3x+5를 완성했다.

마지막 검산도 한 가지로 끝내지 않았다. 완성한 함수를 미분해 F′(x)=4x-3을 확인하고, x=2를 대입해 F(2)=7이 되는지 함께 살폈다.

새 좌표에서 C=2를 먼저 남긴 기록

이 기준이 같은 문항의 반복에만 머물렀는지는 조건을 바꾼 문제에서 확인했다. 새 문제 F′(x)=6x+1, F(-1)=4에서는 적분 직후 C를 지우지 않고 F(x)=3x²+x+C를 먼저 기록했다.

x=-1을 대입하면 3-1+C=4이므로 C=2가 된다. 학생은 완성한 식을 다시 미분하고 F(-1)=4도 확인해 도함수와 점 조건을 모두 맞췄다.

다음 점검에서도 도함수와 한 점이 달라진 문항에서 같은 순서가 나타나는지 본다. C가 포함된 원함수를 먼저 쓰고, 좌표로 C를 결정한 뒤 두 검산까지 맞으면 이 풀이 기준이 유지된 것으로 판단한다.