사월동수학과외

두 인수 아래에 근 하나만 적힌 카드가 놓여 있었다. 문제는 P(x)=x³+ax²+bx+6이 (x-1)(x+2)로 나누어떨어질 때 a,b를 구하는 고1 문항이었다. 답안에는 P(1)=0만 적혀 있었고, 다른 인수에 대응하는 근은 표시되지 않았다.

학생은 먼저 (x-1)에 대응하는 1을 사용해 P(1)=0을 세웠다. 기록에는 1+a+b+6=0이라는 식 한 줄이 남아 있었다. 이 식이 정확하게 만들어졌다는 점 때문에, (x+2)가 주는 조건까지 처리했다고 판단한 흔적도 확인됐다.

맞는 식 한 줄이 전체 조건을 대신할 수 있었을까

처음 판단 기준은 곱으로 된 인수식에서 한 근만 확인해도 다항식 전체의 나누어떨어짐을 대표할 수 있다는 것이었다. 그러나 (x-1)(x+2)는 두 일차인수의 곱이므로 각각에 대응하는 근을 따로 확인해야 한다. P(1)=0만으로는 미지수 a,b 두 개를 결정할 독립 조건이 하나밖에 남지 않는다.

답을 가린 뒤 조건 수와 미지수 수를 세자 누락된 부분이 분명해졌다. (x-1)은 P(1)=0을 만들고, (x+2)는 P(-2)=0을 만든다. 따라서 필요한 식은 다음과 같이 두 줄이어야 한다.

P(1)=1+a+b+6=0

P(-2)=-8+4a-2b+6=0

첫 번째 식에서는 a+b=-7을 얻고, 두 번째 식은 4a-2b=2이므로 2a-b=1로 정리된다. 두 식을 연립하면 a=-2, b=-5가 나온다. 여기서 멈추지 않고 구한 값을 원래 다항식에 다시 넣어 P(1)=0, P(-2)=0이 모두 성립하는지 확인해야 두 인수에 대한 검증이 끝난다.

계산법보다 먼저 기록해야 했던 대응 관계

이번 답안의 원인은 인수정리의 계산법을 몰랐기 때문이 아니었다. (x-1)과 (x+2)를 각각 어떤 근으로 바꾸어야 하는지 기록하지 않아, 첫 번째 식의 정확성이 조건 전체의 완전성을 대신했다. 인수 위에 근을 따로 적는 행동이 빠진 것이 풀이의 첫 누락이었다.

수정 답안에서는 인수 위에 1과 -2를 각각 표시하고, P(1)=0과 P(-2)=0을 두 줄로 분리했다. 이후 두 식에서 나온 a+b=-7, 2a-b=1을 연립하고, 계산한 계수를 두 근에 다시 대입했다. 식을 잘 계산하는 것과 주어진 조건을 모두 사용했는지는 별도로 점검해야 했다.

새 카드에서 먼저 나타난 두 근의 표시

며칠 뒤 계수가 달라진 삼차다항식이 (x-2)(x+1)로 나누어떨어지는 새 문항을 풀 때, 학생은 계산부터 시작하지 않았다. 근 2와 -1을 먼저 표에 적고, 미지수 개수에 맞춰 두 식을 세운 다음 연립했다. 이전 문제의 a,b 값을 떠올려 끼워 맞추는 대신 인수별 조건 생성이 풀이의 앞부분에 자리 잡은 것이다.

다음 기록에서 완료로 볼 기준도 분명해졌다. 주어진 모든 일차인수를 빠짐없이 근으로 바꾸고, 미지수 수만큼 독립된 조건을 세운 뒤, 구한 계수를 각 근에 다시 대입해 나머지가 0인지 확인해야 한다. 한 조건만으로 값을 확정하거나 한 근만 검산한 답안은 아직 통과로 표시하지 않는다.