직산지구수학과외

답안 첫 줄에는 수직선의 0 오른쪽에 2와 3만 표시되어 있었고, 옆에는 ‘참’ 표시가 남아 있었다. 문제는 실수 a,b에 대해 a>b이면 a²>b²인지 판단하는 중3 부등식 카드였다.

3>2와 9>4에서 멈춘 판단

학생은 3>2를 제곱해 9>4가 되는 것을 확인한 뒤 주장을 참으로 선택했다. 양수 두 수에서 성립한 관계를 실수 전체에도 그대로 적용했지만, 수직선의 0 왼쪽은 시험하지 않았다.

처음 사용한 기준은 ‘큰 수를 제곱하면 결과도 더 크다’는 판단이었다. 이는 제곱 계산을 틀린 경우가 아니라, 양수에서 확인한 크기 관계를 부호 조건 없이 넓힌 경우에 해당한다.

-1과 -2가 보여 준 결론의 방향

답안에 a=-1, b=-2를 대입하면 a>b, 즉 -1>-2는 성립한다. 그러나 제곱하면 a²=1, b²=4이므로 1<4가 되어 처음 주장인 a²>b²는 거짓이 된다.

기록에서 확인된 원인은 제곱함수 y=x²가 실수 전체에서 한 방향으로만 증가하지 않는다는 점을 부호와 연결하지 않은 데 있었다. 두 수가 음수이면 0에서 더 멀리 있는 수의 절댓값과 제곱값이 더 커질 수 있다.

세 칸으로 나눈 부호 확인

교정표는 ‘둘 다 양수’, ‘서로 다른 부호’, ‘둘 다 음수’로 나뉘었다. 각 칸에 예를 하나씩 적고, a=-1, b=-2에는 조건 O·결론 X를 표시해 반례로 선택했다.

수직선에는 각 수와 0까지의 거리를 함께 나타냈다. 이 과정에서 제곱값을 계산하기 전에 변수들이 어느 부호 구간에 놓였는지 확인하는 순서가 풀이 기록에 추가됐다.

양수 조건이 붙은 역수 비교에서의 재적용

새 자료는 a>b>0일 때 1/a<1/b인지 판단하는 문제였다. 학생은 먼저 양수 조건에 밑줄을 긋고, 두 수를 곱해도 부등호 방향을 안전하게 다룰 수 있는지 확인한 뒤 관계를 설명했다.

이번에는 예 하나를 곧바로 전체 성질로 확장하지 않고 주어진 부호 범위를 먼저 고정했다. 다음 부등식에서도 양수·0·음수 구간을 나누고, 참이면 해당 범위 안에서 이유를 설명하며, 거짓이면 조건 O·결론 X인 반례를 제시하는지를 완료 기준으로 삼는다.