차암동수학과외

공식 카드에는 0.3²×0.7³만 남아 있었고, 다섯 시행에서 성공할 위치를 표시한 흔적은 비어 있었다. 문항은 성공확률이 0.3인 시행을 5번 반복할 때 정확히 2번 성공할 확률을 묻고 있었지만, 답안에는 성공·성공·실패·실패·실패라는 한 배열의 확률만 계산되어 있었다.

한 배열을 전체로 본 최초의 판단

학생은 성공 횟수와 실패 횟수가 정해졌으므로 p²q³만 계산해도 정확히 두 번 성공하는 경우가 모두 포함된다고 판단했다. 성공이 어느 시행에 놓이는지는 확률값을 바꾸지 않는다고 보아, 성공 두 자리를 따로 세지 않았다.

빠진 것은 계산이 아니라 배열의 수였다

기록을 나누어 보면 0.3²×0.7³은 성공 두 번과 실패 세 번이 특정 순서로 나타나는 한 배열의 확률이다. ‘정확히 2번 성공’은 다섯 시행 중 성공 위치 두 곳이 달라질 수 있는 여러 배열을 뜻하므로, 먼저 그 위치의 수를 정해야 한다. 답안에서 ₅C₂가 비어 있었던 지점이 바로 이 판단의 누락을 보여 준다.

다섯 칸의 두 자리를 먼저 표시하기

교정할 때는 다섯 칸을 그린 뒤 그중 두 칸을 성공으로 고르는 예를 표시했다. 이 위치 선택을 ₅C₂로 묶고, 각 배열에서 공통으로 나타나는 확률 0.3²×0.7³을 곱해 다음 식을 완성했다.

₅C₂(0.3)²(0.7)³

조합 계수는 배열의 개수, 곱셈 부분은 한 배열의 확률이라는 점을 서로 다른 칸에 기록해 두 요소를 구분했다. 이 방식은 차암동 생활권에서 이항분포의 정확한 횟수 문항을 살필 때도 답안의 첫 식을 확인하는 기준으로 사용할 수 있다.

여섯 시행에서는 ₆C₃이 먼저 나왔다

같은 문제를 다시 숫자만 바꾼 것이 아니라, 성공확률이 0.4인 시행을 6번 할 때 정확히 3번 성공하는 새 문항으로 확인했다. 학생은 성공 위치를 고르는 ₆C₃을 먼저 적고, 이어 (0.4)³(0.6)³을 붙였다.

다음 정확횟수 문항에서도 전체 시행 수와 성공 횟수로 조합 계수를 먼저 만든 뒤 한 배열의 성공·실패 확률을 곱하면, 이번 교정이 유지된 것으로 판단한다. 반대로 pʳqⁿ⁻ʳ만 적고 위치의 수를 생략하면 같은 기준을 다시 점검해야 한다.