탑동수학과외

이차함수 비교 카드에는 y=2x²와 y=-1/2x²의 그래프 폭을 비교하는 문제가 있었다. 답안에는 ‘-이므로 아래로, 따라서 좁다’라고 적혀 있었고, 개구 방향을 정하는 부호만 표시되어 있었다.

방향과 폭을 한 기준으로 판단한 첫 기록

학생은 이차항 계수의 부호가 그래프의 방향과 폭을 함께 결정한다고 보았다. 그래서 아래로 열린 y=-1/2x²이 위로 열린 y=2x²보다 좁다고 표시했다. 하지만 부호와 폭은 서로 다른 정보다.

이차함수 y=ax²에서 계수의 부호는 그래프가 위로 열리는지 아래로 열리는지를 정한다. 폭은 계수의 부호가 아니라 절댓값 |a|의 크기와 관련된다. 답안에 |2|와 |-1/2|를 나란히 비교한 흔적이 없었던 이유도 이 두 역할을 분리하지 않았기 때문으로 확인됐다.

계수를 두 칸으로 나누고 한 점으로 확인하기

교정할 때는 각 계수를 ‘부호’와 ‘절댓값’으로 나누어 적었다. 2는 양수이므로 위로 열리고, -1/2은 음수이므로 아래로 열린다고 먼저 표시했다. 그다음 |2|=2, |-1/2|=1/2를 비교해 y=2x²의 그래프가 더 좁고 y=-1/2x²의 그래프가 더 넓다고 판단했다.

폭 판단은 x=1을 대입해 한 번 더 확인했다. 첫 번째 함수에서는 |y|=2, 두 번째 함수에서는 |y|=1/2가 되므로 같은 높이에서 첫 번째 그래프가 더 안쪽에 놓인다. 이 검산은 방향을 나타내는 부호와 폭을 나타내는 절댓값을 섞지 않도록 도왔다.

새 카드에서 꺼내 쓴 비교 순서

마지막에는 조건이 달라진 새 카드에서 y=-3x²과 y=4x²을 비교했다. 학생은 두 식의 개구 방향을 먼저 따로 적은 뒤, |3|=3과 |4|=4를 비교해 y=4x²이 더 좁다고 설명했다.

다음 점검에서는 부호와 크기가 모두 달라진 두 이차함수에서도 같은 순서가 나타나는지 살핀다. 방향은 부호, 폭은 |a|로 판단하고, 한 점을 찍어 확인하면 완료로 본다. 부호만 보고 폭을 정했다면 풀이를 다시 확인한다.