팔공산수학과외

수 카드에는 2×4와 4×6이 적혀 있었고, 두 곱은 모두 짝수였다. 카드의 주장은 ‘두 자연수의 곱이 짝수이면 두 수는 모두 짝수다’였으며, 학생은 두 사례에서 조건과 결론이 함께 맞는 것을 보고 참이라고 표시했다.

처음 판단은 맞는 예를 여러 개 모으면 ‘항상’이라는 말을 확인할 수 있다는 기준에 바탕을 두고 있었다. 하지만 답안 기록을 나란히 살펴보니 짝수×짝수 두 줄만 남아 있었고, 짝수×홀수 조합을 살핀 흔적은 비어 있었다.

비어 있던 짝수×홀수 칸이 드러낸 판단의 범위

문제는 짝수 계산을 하지 못한 데 있지 않았다. 곱이 짝수가 되는 경우를 짝수×짝수만으로 좁혀 본 것이 출발점이었다. 실제로 조건에는 짝수×홀수도 포함되며, 2×3=6은 곱이 짝수라는 조건을 만족한다.

그러나 2와 3이 모두 짝수는 아니므로 결론은 성립하지 않는다. 이처럼 조건은 맞지만 결론이 틀리는 한 사례가 나오면, 원래의 ‘항상’ 주장은 거짓이 된다. 참인 예를 확인하는 일과 반례를 찾는 일의 역할이 달랐던 셈이다.

네 조합을 나눈 뒤 반례를 표시한 풀이

교정 과정에서는 행을 짝수·홀수, 열도 짝수·홀수로 나눈 조합표를 사용했다. 네 칸의 가능한 조합을 구분한 뒤 각 곱을 확인하고, 조건에 맞으면서 결론을 깨뜨리는 2×3=6에 ‘반례’ 표시를 남겼다.

이 절차를 거치면 모든 예가 참인지 세는 것이 아니라, 주장 전체를 무너뜨릴 수 있는 조합이 있는지 확인하게 된다. 팔공산수학과외에서 이 기록을 읽을 때도 정답 표시보다 어떤 조합을 빠뜨렸는지가 판단 기준의 변화로 확인됐다.

숫자가 바뀐 덧셈 카드에서도 먼저 찾은 칸

조건이 달라진 새 카드의 주장은 ‘두 자연수의 합이 짝수이면 두 수는 모두 짝수다’였다. 학생은 이번에는 짝수+짝수만 확인하지 않고 홀수+홀수 조합까지 살폈고, 1+3=4를 반례로 제시했다.

숫자와 연산이 바뀌었는데도 빠진 조합을 먼저 찾는 행동이 이어졌다. 다음 수의 성질 주장에서도 조합표를 빠짐없이 나누고, 거짓인 경우에는 조건은 만족하지만 결론은 틀린 값을 스스로 제시하는지 확인하는 것으로 풀이의 완료 여부를 판단한다.