화원읍수학과외

고3 미적분 공책에는 F(x)=∫₀ˣ²(t+1)dt의 첫 미분식이 남아 있었다. 학생은 상한 x²를 피적분함수에 넣어 x²+1까지 적었지만, 그 뒤에 이어져야 할 곱셈 칸은 비어 있었다. 첫 줄만 보면 기본정리를 적용한 흔적으로 보였으나, 답안에는 x²에서 2x로 이어지는 연쇄법칙 화살표가 없었다.

검산 위치가 누락된 인수를 가리지 못했다

처음 판단은 상한이 x가 아니더라도 피적분함수에 상한을 대입하면 미분이 끝난다는 기준에 머물러 있었다. 상한 자체가 함수일 때 그 함수의 변화율을 별도로 계산해야 한다는 부분이 빠진 것이다.

답안에 남은 x=0 대입 검산도 이 누락을 찾아내지 못했다. x=0에서는 2x가 0이 되므로, x²+1만 적은 식과 올바른 미분식의 차이가 검산값에 드러나지 않았다.

상한을 두 단계로 나누어 계산한 기록

이번 풀이에서는 상한을 먼저 u=x²로 두었다. 그러면 적분의 기본정리에 따라

d/du ∫₀ᵘ(t+1)dt=u+1

을 계산하고, 상한의 변화율은 별도로

du/dx=2x

로 적는다. 두 줄의 결과를 곱하면

F′(x)=(u+1)·2x=2x(x²+1)

이 된다. 따라서 문제의 핵심은 넓이의 부호나 구간을 나누는 데 있지 않고, 합성된 상한에 기본정리와 연쇄법칙을 함께 적용하는 데 있었다.

새 식에서 먼저 나타난 cos x

교정이 같은 식에만 머물렀는지는 새로운 조건에서 확인했다. G(x)=∫₁ˢⁱⁿˣeᵗdt를 미분할 때 학생은 더 이상 eˢⁱⁿˣ만 적지 않았다. 상한 sin x의 도함수인 cos x를 먼저 표시하고, G′(x)=eˢⁱⁿˣcos x를 완성했다.

다음 점검에서도 상한이 다른 함수로 바뀌었을 때 피적분함수에 상한을 대입한 값과 상한의 도함수를 각각 적어 곱하는지 살핀다. 마지막으로 직접 미분한 결과와 일치하면 해당 풀이 절차를 완료한 것으로 본다.