황금동수학과외

“왜 A와 C를 연결했을까?”라는 질문은 초5 전개도 활동지에 남은 한 줄에서 시작됐다. A를 가운데 두고 위에 B, 아래에 C, 왼쪽에 D, 오른쪽에 E, B 위에 F가 놓인 전개도에서 학생은 A와 C 사이에 선을 긋고 ‘반대’라고 적었다. 평면에서 두 칸이 멀어 보였기 때문이다.

답안에는 A-C 사이를 잇는 선과 ‘반대’라는 메모가 있었지만, 접는 방향을 나타내는 화살표는 없었다. B 위에 있던 F가 접힌 뒤 어느 위치로 이동하는지도 표시되지 않았다. 답을 고친 뒤에도 종이 위의 거리를 먼저 본 판단은 기록에 남아 있었다.

A와 C 사이의 거리가 면의 관계를 정하지는 않았다

처음 사용한 기준은 전개도에서 두 면 사이의 칸 수가 멀수록 정육면체에서 서로 마주 볼 것이라는 생각이었다. 그러나 정육면체에서는 평면 위의 거리가 아니라 접힌 뒤 어떤 면이 모서리를 공유하는지, 어느 방향으로 회전하는지가 면의 관계를 결정한다.

A 주변의 B·C·D·E를 접어 네 면을 세우면 C는 A와 공통 모서리를 공유한다. 따라서 C는 A와 마주 보는 면이 아니라 이웃한 면이다. 오류의 시작점은 정육면체의 면 개념을 전혀 모른 데 있지 않고, A 주변의 네 면을 먼저 세운 뒤 남은 F가 A의 반대편을 닫는 과정을 추적하지 않은 데 있었다.

화살표를 그린 뒤 F의 자리를 확인했다

교정할 때는 A 주변 네 면에 각각 접는 화살표를 그렸다. 네 면을 세운 모형 위에서 B 위에 있던 F가 접힌 뒤 A의 반대편을 덮는 위치로 이동하는 과정을 확인했다.

이후 A와 F를 같은 기호로 묶고, A와 C 사이에는 공통 모서리 표시를 남겼다. 이렇게 표시하자 ‘마주 보는 면’과 ‘이웃한 면’을 평면 거리로 판단하지 않고, 접힌 뒤의 위치와 모서리 관계로 구분할 수 있었다.

방향을 바꾼 새 전개도에서 절차가 나타났다

다음 카드에서는 전개도의 방향과 글자 위치가 달라졌다. 학생은 더 이상 종이 위에서 멀리 떨어진 두 칸을 먼저 고르지 않고, 기준 면 주변의 네 면부터 접는 순서를 표시했다.

네 면을 세운 뒤 마지막으로 남은 면이 기준 면의 반대편을 닫는다는 근거를 사용해 새로운 마주 보는 쌍을 찾았다. 같은 전개도를 다시 푼 것이 아니라, 모양과 글자 위치가 달라진 조건에서 접는 기준을 혼자 꺼내 적용한 기록이었다.

다음 점검에서는 새 전개도에서 기준 면과 모서리를 공유하는 네 면을 먼저 표시하는지 본다. 남은 한 면을 반대 면으로 정하는 절차가 도움 없이 나타나고, 전개도를 회전해 제시해도 같은 면 관계를 설명하면 이번 교정의 완료 기준에 도달한 것으로 판단할 수 있다.