대전태평동수학과외

고3 경우의 수 답안을 다시 보니 자리 배치 그림에는 [AB] 블록 하나와 나머지 다섯 명만 남아 있었다. A와 B가 이웃하는 7명 배열을 구하면서 학생은 여섯 개 대상을 배열하는 6!만 적었고, 묶음 안의 [BA]는 표시하지 않았다.

묶음의 위치와 묶음 속 순서를 나누어 보기

처음 판단은 두 사람을 하나로 묶는 순간 내부 순서도 정해진다는 것이었다. 그래서 이웃 조건을 처리한 뒤에는 추가로 곱할 필요가 없다고 보았다. 이 판단은 ‘묶음의 위치를 정하는 단계’와 ‘묶음 안에서 A와 B의 순서를 정하는 단계’를 하나로 합친 데서 생겼다.

자리 배치 그림에서도 그 흔적이 분명했다. [AB]만 있고 [BA]는 없었으며, 블록의 위치 배열과 내부 배열을 서로 다른 선택으로 표시한 흔적도 없었다. 순열 공식을 모른 것이 아니라, 하나의 블록 안에도 두 가지 배열이 남아 있다는 점을 분리하지 않은 것이다.

큰 칸과 작은 칸에 따로 적은 두 선택

수정한 풀이에서는 먼저 큰 칸에 [A,B] 블록과 나머지 다섯 명을 배치했다. 블록을 하나의 대상으로 보면 모두 여섯 개 대상이 되므로 이 단계는 6!이다.

그다음 작은 칸에 블록 내부의 순서를 적었다. A가 먼저 오는 AB와 B가 먼저 오는 BA를 따로 표시하면 내부 배열은 2!이고, 전체 배열 수는 6!×2가 된다. 바깥에서 블록의 위치를 정하는 일과 블록 안의 순서를 정하는 일이 독립된 단계이므로 두 수를 곱한다.

학생은 A와 B가 차지할 위치를 먼저 고른 뒤 나머지 사람을 배치하는 방식으로도 같은 계산이 되는지 확인했다. 표현은 달라도 ‘바깥 배열’과 ‘내부 순서’를 각각 세고 결합해야 한다는 기준은 같았다.

세 사람 블록으로 옮겨 간 확인

조건을 바꾼 새 문제에서는 8명 중 A, B, C 세 사람이 연속해서 서는 경우를 다루었다. 이번에는 세 사람을 하나의 블록으로 보고 블록 하나와 나머지 다섯 명, 즉 모두 여섯 개 대상을 배열하는 6!을 먼저 적었다.

이후 블록 안에서 A, B, C가 배열되는 3!을 별도로 기록했다. 처음 문제의 AB·BA 두 경우를 외운 방식으로 반복한 것이 아니라, 인원이 세 명으로 늘어난 조건에서도 내부 순서를 독립된 단계로 꺼내 쓴 점이 확인할 부분이다.

다음 풀이에서 교정이 유지됐다고 판단하려면 정답만 확인하지 않는다. 새 이웃 조건에서 바깥 배열 수와 블록 내부 순서가 따로 기록되어 있는지, 두 계산을 왜 곱하는지 설명하는지를 본다. 묶음 기호만 만들고 내부 순서를 생략했다면 같은 판단 기준을 다시 점검해야 한다.