대현동수학과외

고3 다항식 공책에는 P(x)가 (x-a)²로 나누어떨어지기 위한 답이 적혀 있었다. 그런데 P(a)=0 오른쪽의 두 번째 조건 칸은 비어 있었다. 첫 번째 조건만 적힌 빈칸이 이번 풀이 기록을 다시 살펴보게 한 출발점이었다.

인수가 있다는 것과 반복된다는 것은 달랐다

학생의 공책에는 P(a)=0 옆에 x-a가 인수라는 연결선이 있었다. 여기까지는 P(a)=0이면 x-a가 P(x)의 인수라는 사실에 맞는다. 그러나 같은 인수가 두 번 나타나는지 확인하는 P′(a) 기록이나 반복 나눗셈 표시는 남아 있지 않았다.

처음 판단은 P(a)=0이면 x-a가 인수이므로 (x-a)²도 자동으로 포함된다는 것이었다. 이 판단에서는 인수의 존재와 그 인수가 반복되는 횟수를 하나로 처리하고 있었다. 따라서 정수근 후보를 찾지 못한 문제가 아니라, 인수의 중복도를 따로 확인하지 않은 것이 기록에서 드러난 원인이었다.

제곱된 인수에는 두 번째 확인 칸이 필요했다

(x-a)²가 P(x)의 인수이려면 x=a에서 P(x)가 0이 되는 것만으로 충분하지 않다. 다항식이 미분 가능한 범위에서 P(a)=0과 P′(a)=0이 함께 성립해야 하며, 같은 의미로 x-a로 두 번 나누었을 때 두 번 모두 나머지가 없어야 한다.

교정할 때 조건 칸을 ‘첫 번째 인수’와 ‘반복 인수’로 나누었다. 첫 번째 칸에는 P(a)=0을, 반복 인수 칸에는 P′(a)=0을 적어 두 조건을 분리했다. 도함숫값을 이용한 확인과 함께 조립제법으로 x-a를 두 번 나누어 두 번째 나눗셈 뒤의 몫에도 x-a가 남는지 살피는 절차를 사용했다.

새 숫자에서도 두 조건을 나란히 꺼냈는가

같은 P(x)를 다시 푼 것이 아니라, 조건이 달라진 새 문항에서 기준이 유지되는지를 확인했다. Q(x)가 (x+2)²로 나누어떨어지도록 매개변수를 정하는 문제에서 학생은 Q(-2)=0만 적지 않았다. Q(-2)=0과 Q′(-2)=0을 연립해 매개변수 조건을 구했다.

이 장면은 특정한 a값을 기억한 결과가 아니라, 제곱된 일차인수에는 근 대입과 도함숫값 확인이 함께 필요하다는 절차를 새 조건에 옮긴 사례다. 다음에는 제곱된 일차인수가 등장한 문제에서 두 값을 모두 적었는지, 또는 반복 나눗셈 두 번을 남겼는지를 기준으로 풀이의 완료 여부를 판단할 수 있다.