두암동수학과외

원기둥 전개도 답안을 다시 읽을 때 먼저 눈에 들어온 것은 직사각형의 가로에 적힌 3cm와 양쪽 원 둘레 사이에 연결 표시가 없다는 점이었다. 반지름 3cm, 높이 5cm인 원기둥에서 학생은 직사각형을 옆면으로 펼쳤다는 사실에 집중해 가로를 반지름과 같은 3cm로 두고 3×5를 계산했다.

전개도의 가로에 남은 3cm

전개도에는 원 두 개와 직사각형이 모두 그려져 있었지만, 직사각형의 긴 변이 원의 어느 부분과 이어지는지 나타낸 흔적은 없었다. 따라서 직사각형의 가로를 정할 때 그림 속 반지름 3cm를 그대로 옮겼고, 옆면의 넓이를 3×5로 처리했다.

처음 판단은 “옆면을 펼치면 직사각형이 된다”는 관찰에서 출발했다. 다만 직사각형이 되었다는 모양만 사용하고, 직사각형의 긴 변이 밑면 원의 둘레 전체에 해당한다는 대응은 전개도에 반영하지 않았다.

빠진 것은 공식보다 도형 사이의 대응이었다

답안에는 밑면 원의 넓이를 한 장만 계산한 뒤 멈춘 흔적도 있었다. 원기둥의 겉넓이는 옆넓이와 밑면 두 장의 넓이를 합해야 하므로, 원이 두 개 그려져 있다는 사실을 계산 과정에도 남겨야 했다.

이 기록에서 확인된 원인은 겉넓이 공식을 전혀 모르는 데 있지 않았다. 옆면 직사각형의 가로가 밑면 원을 한 바퀴 두른 길이인 2πr이라는 점, 그리고 밑면이 두 개라는 점을 전개도와 식 사이에 연결하지 않은 것이 시작점이었다.

가로를 원주로 바꾸어 식을 분리했다

수정한 전개도에서는 직사각형의 긴 변에 2π×3=6π, 세로에 높이 5를 적었다. 이렇게 표시하면 옆넓이는 6π×5=30π가 된다.

두 원의 넓이는 각각 9π이므로 밑면 전체는 2×9π=18π이다. 옆넓이와 밑면 두 장을 따로 계산한 뒤 30π+18π=48π로 합쳤고, 전개도에서 계산에 포함한 세 부분을 색으로 구분해 빠진 면이 없는지도 확인했다. 넓이의 단위는 cm²로 기록한다.

지름 8cm인 새 자료에서 표시가 먼저 나왔는가

다음 문제에서는 반지름이 아니라 지름 8cm와 높이 6cm가 주어졌다. 학생은 먼저 지름을 반으로 나누어 반지름 4cm를 확인한 뒤, 직사각형의 가로에 원주 2π×4=8π를 적었다.

이후 옆넓이와 밑면 두 장을 각각 계산해 전개도의 세 부분을 빠짐없이 반영했다. 같은 문제의 숫자만 바꾼 재풀이가 아니라, 조건이 달라진 새 원기둥에서도 원주와 옆면의 대응을 스스로 꺼내 적용한 장면이었다.

다음 점검에서는 정답만 보지 않는다. 직사각형 가로와 원주가 연결되어 있는지, 밑면 두 장이 모두 계산되었는지, 마지막에 cm² 단위가 맞는지를 확인한다. 지름이 주어진 새 전개도에서도 식보다 먼저 이러한 표시가 나타난다면 교정된 판단 기준이 유지된 것으로 본다.