석사동수학과외

답안은 c²=4-9를 적은 뒤 계산이 멈춘 상태로 시작했다. 옆에는 y축 방향으로 긴 타원 스케치가 있었지만, 실제 식의 분모를 축의 길이와 연결한 표시는 보이지 않았다.

뒤에 놓인 항을 장축으로 읽은 첫 판단

학생은 표준형 x²/9+y²/4=1에서 y²항이 뒤에 있다는 이유로 y축을 장축으로 보았다. 이어 작은 분모 4에서 큰 분모 9를 빼는 방식으로 c²=4-9를 계산했다. 항의 순서를 축의 길이 순서처럼 읽은 것이 최초 판단의 출발점이었다.

계산 부호보다 먼저 확인할 두 분모

기록을 다시 보면 계산 실수보다 앞선 단계가 빠져 있었다. 타원 표준형에서는 큰 분모가 장반경의 제곱 a²이고, 그 분모 아래의 변수가 장축 방향을 정한다. 따라서 이 식에서는 a²=9, b²=4이며 x축이 장축이다.

학생은 9와 4를 비교하지 않은 채 식의 배치만으로 축을 결정했다. 그래서 y축으로 긴 스케치와 음수가 되는 c²가 동시에 남았다. 원인은 공식 자체를 모른 것이 아니라, 공식을 적용하기 전에 장반경과 장축 방향을 확인하지 않은 데 있었다.

동그라미와 표로 축 방향을 고정한 풀이

교정할 때는 먼저 분모 9와 4를 비교해 9에 동그라미를 치고 x축에 장축 표시를 남겼다. 그 다음 a=3, b=2를 표에 적고 c²=a²-b²=9-4=5로 정리했다. 초점은 (±√5,0)으로 정한 뒤 그래프에 두 점을 찍어 중심에서 같은 거리에 있는지도 확인했다.

세로로 놓인 새 타원에서 다시 꺼낸 기준

이후 제시한 x²/16+y²/25=1에서는 축 방향이 달라졌다. 학생은 y² 아래의 25가 더 큰 분모라는 점을 먼저 표시하고, c²=25-16=9를 계산했다. 그 결과 초점을 (0,±3)으로 정해 세로축 방향에 맞게 독립적으로 적용했다.

다음 자료에서도 큰 분모와 그 아래 변수를 먼저 표시하고, c²=a²-b²로 초점 위치를 정하는 순서가 남아 있으면 완료로 본다. 식의 항 순서만 보고 장축을 고른 흔적이 다시 나타나면 같은 기준을 재점검한다.