성성동수학과외

답안에는 V(X+Y)=V(X)+V(Y)가 적혀 있었고, 결과는 8이었다. 그런데 문제에 제시된 Cov(X,Y)=2는 계산 과정 어디에도 등장하지 않았다. X와 Y가 독립이라는 조건도 없었기 때문에, 사용되지 않은 공분산 값과 답 8을 함께 놓고 풀이의 출발점을 다시 살펴보았다.

분산을 더하는 식이 항상 성립하지 않는 이유

학생은 두 확률변수의 합의 분산은 각각의 분산만 더하면 된다고 판단했다. 공분산은 별도의 통계량이며 합의 분산에는 영향을 주지 않는다고 본 것이다. 이 판단은 독립인 경우에 사용하는 식을 모든 합의 분산 문제에 적용한 데서 시작되었다.

합의 분산에 대한 일반식은 V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)이다. 두 확률변수가 독립이면 공분산이 0이 되어 V(X)+V(Y)만 남지만, 독립 조건이 없는 문제에서는 공분산 항을 먼저 확인해야 한다.

3, 5, 2를 빠짐없이 넣었을 때 달라지는 답

주어진 값은 V(X)=3, V(Y)=5, Cov(X,Y)=2였다. 따라서 일반식에 그대로 대입하면 3+5+2×2=12가 된다. 처음 답한 8과 비교하면 차이는 4이며, 이 값은 누락한 2Cov(X,Y)와 일치한다.

이 기록에서 확인된 문제는 공분산의 계산 능력 자체가 아니었다. 독립일 때 공분산이 0이 되는 특수한 경우와, 공분산이 주어진 일반적인 경우를 구분하지 않은 것이 첫 식에서 드러났다.

조건 칸을 먼저 만든 뒤 식을 선택하다

교정 과정에서는 계산을 시작하기 전에 조건 칸에 ‘독립 여부’와 ‘공분산 값’을 적도록 했다. 그 다음 V(X)=3, V(Y)=5, Cov(X,Y)=2를 일반식에 넣어 12를 구하고, 공분산을 생략한 8과 차이 4를 비교했다.

이 절차는 공식을 외워 다시 쓰는 데 그치지 않고, 문제에 제시된 숫자가 실제 식에 들어갔는지 확인하게 한다. 성성동의 학교 자료를 특정 재학생이나 시험 특징과 연결하지 않고도, 천안성성초등학교·천안가람초등학교 등 생활권에서 수학 풀이를 점검할 때 활용할 수 있는 기록 중심의 기준이다.

음의 공분산을 가진 차의 분산에서 확인한 부호

이후 조건이 달라진 새 문항에서 V(A)=4, V(B)=1, Cov(A,B)=-1일 때 V(A-B)를 구했다. 학생은 V(A-B)=V(A)+V(B)-2Cov(A,B)를 먼저 적고, 4+1-2×(-1)=7로 계산했다.

이번에는 같은 문제를 다시 푼 것이 아니라, 합에서 차로 바뀌고 공분산도 음수가 된 새 조건에서 판단 기준을 혼자 꺼냈다. 다음 합·차 문항에서도 독립 조건이 없을 때 일반식을 쓰고, 공분산 항의 부호와 계수 2를 포함해 주어진 값을 모두 사용하면 풀이가 완료된 것으로 본다. 분산만 더하거나 공분산의 음수 부호를 그대로 옮기면 그 지점부터 다시 확인한다.