신탄진동수학과외

첫 기록에는 표본평균의 표준편차를 12√36=72로 적은 식과, 그 계산 방향을 뒷받침하듯 지나치게 넓게 그려진 분포 그림이 함께 남아 있었다. 문제의 조건은 모집단 평균 50, 모집단 표준편차 12, 표본크기 36일 때 P(X̄≤52)를 구하는 것이었다.

n=36을 곱셈 기호 뒤에 둔 첫 식

답안에서 n=36에는 동그라미가 있었지만, √36이 표준편차 아래 분모가 아니라 곱셈 기호 뒤에 놓였다. 따라서 표준화 식은 z=(52-50)/72가 되었고, 평균 50에서 거의 움직이지 않은 경계를 다루는 것처럼 계산됐다.

처음의 판단은 자료를 36개 모으면 변동도 36개의 영향만큼 커진다는 데서 출발했다. 표본 수가 많다는 말을 합계의 크기와 연결한 셈이어서, 자료를 더한 값과 그 자료를 평균 낸 값의 퍼짐을 구분하지 못했다.

정규분포표보다 먼저 분리해야 했던 합과 평균

풀이 기록을 따라가면 막힌 지점은 정규분포표를 읽는 방법이 아니었다. n개 값을 더한 뒤 n으로 나누는 표본평균에서는 퍼짐이 모집단 표준편차에 √n을 곱하는 방향이 아니라, σ/√n으로 줄어드는 구조를 사용해야 한다.

이 문항에서는 표본평균의 표준오차가 12/√36=2이다. 따라서 평균 50에서 52까지의 거리는 2이고, 올바른 표준화 값은 z=(52-50)/2=1이 된다. 처음 그린 넓은 분포와 달리 표본평균의 분포는 모집단 자료의 분포보다 좁아져야 한다.

X와 X̄의 폭을 나란히 적은 수정 칸

수정 과정에서는 모집단 변수 X와 표본평균 X̄의 분포를 나란히 그린 뒤 폭을 각각 12와 2로 표시했다. 이어서 표준오차 12/√36=2를 먼저 계산하고, 그 값을 이용해 z=1을 구한 다음 P(Z≤1)의 누적 영역을 칠했다.

마지막 줄에는 표본크기 n이 1보다 커졌을 때 퍼짐이 12보다 작아졌는지 방향을 확인하는 검산도 남겼다. 이 검산은 계산 결과만 확인하는 절차가 아니라, 표본평균의 분포가 좁아지는지 수식과 그림의 방향을 함께 점검하는 기준이 됐다.

숫자가 16과 64로 바뀐 새 자료

독립 재적용에서는 모집단 표준편차 16, 표본크기 64인 새로운 표본평균 확률을 다뤘다. 학생은 표준화부터 시작하지 않고 별도 칸에 16/√64=16/8=2를 먼저 적었다.

원자료 문제인지 표본평균 문제인지 기호 X와 X̄를 구분했다. 숫자가 달라진 상황에서도 √n을 분모에 두는 이유를 설명하면서 같은 풀이 기준을 새 문제에 꺼내 쓸 수 있는지 확인했다.

다음 표본평균 문항은 σ → n → σ/√n의 순서로 적고, 표본크기가 커질 때 표준오차가 작아지는지 확인한 뒤 z값과 누적 방향을 정하면 완료로 본다. 표준오차 식을 정답 뒤에 덧붙이거나 X와 X̄를 구별하지 않은 답안은 다시 검토 대상이다.