원내동수학과외

답안 확대 화면에는 x+y-1=2x-y+3이라는 첫 식이 한 줄로 남아 있었다. 점 P(x,y)가 두 직선 x+y-1=0, 2x-y+3=0까지 같은 거리에 있다는 조건을 풀면서, 두 직선의 좌변을 바로 같게 둔 것이다.

같은 값과 같은 거리를 구분하지 못한 첫 식

처음 판단은 두 직선의 방정식에서 왼쪽 식의 값만 같으면 점에서 두 직선까지의 거리도 같아진다는 기준에 놓여 있었다. 그러나 직선의 계수는 거리 계산에서 빠지지 않는다. 첫 번째 직선의 법선벡터 길이는 √2, 두 번째 직선의 법선벡터 길이는 √5이므로 좌변의 값만 비교하면 두 거리의 크기를 정확히 비교할 수 없다.

답안에는 각 직선의 좌변을 법선벡터 길이로 나누는 표시가 없었다. 거리의 절댓값을 처리할 때 생기는 반대 부호의 식도 빠져 있어, 등거리 자취 중 한 경우만 남을 가능성이 있는 상태였다.

자취 개념보다 먼저 확인할 거리식

기록을 다시 따라가며 확인한 원인은 자취 개념 전체를 모르는 데 있지 않았다. 점과 직선 사이 거리 공식 |ax+by+c|/√(a²+b²)를 두 직선에 각각 적용하지 않은 것이 출발점이었다.

따라서 두 거리의 같음을 다음처럼 세웠다.

|x+y-1|/√2 = |2x-y+3|/√5

이 식은 절댓값 등식이므로 한 방향으로만 정리할 수 없다. 양변을 정리하면

√5(x+y-1)=±√2(2x-y+3)

가 되고, 플러스와 마이너스 두 경우를 각각 완성해야 한다. 이때 얻어지는 두 직선이 바로 두 직선에서 같은 거리에 있는 점들의 자취가 된다.

법선벡터 길이를 적은 뒤 달라진 풀이 흔적

교정 과정에서는 각 직선 아래에 법선벡터 길이를 먼저 적었다. x+y-1=0에는 √(1²+1²)=√2, 2x-y+3=0에는 √(2²+(-1)²)=√5를 대응시킨 뒤 거리식을 세웠다.

그 다음 절댓값을 없애기 전에 두 부호를 분리했다. 완성된 두 직선 위에서 점을 하나씩 정해 원래 거리식에 다시 대입하면서, 양쪽 거리가 실제로 같은지도 확인했다. 식을 만드는 과정과 결과를 검산하는 과정이 답안에 함께 남은 점이 이전 기록과 달라졌다.

계수가 달라진 새 문제에서 남은 검산점

같은 직선을 다시 푸는 데서 멈추지 않았다. 계수가 달라진 3x-4y+1=0 과 x+y-2=0 의 등거리 자취를 구할 때, 답안에는 먼저 분모 5 와 √2 가 표시되어 있었다.

학생은 절댓값을 없애기 전에 양쪽을 정규화했고, 두 부호에 따른 방정식을 각각 완성했다. 마지막에는 각 결과에서 검산점을 골라 원래 두 거리식에 대입했다. 다음 좌표 문제에서도 분모 계산, ± 분기, 한 점씩 검산하는 순서가 남아 있다면 이번 교정이 유지된 것으로 판단할 수 있다.