월계동수학과외

첫 답안에는 0.5x+1>3의 왼쪽에만 ×2 화살표가 연결되어 있었다. 학생은 소수가 있는 부분을 없애면 된다고 보고 x+2>3을 적었고, 오른쪽의 3에는 같은 연산 표시를 남기지 않았다.

수정 전 식을 자세히 보면 0.5와 1에만 화살표가 이어져 있으며, 부등식의 양변에 같은 수를 곱했다는 기록은 없다. 처음 사용한 기준은 ‘소수가 있는 쪽만 바꾸면 된다’는 것이었다. 하지만 부등식의 해 범위를 유지하려면 한쪽만 편리하게 바꾸는 것이 아니라 양변에 같은 연산을 적용해야 한다.

동치변형 조건을 놓친 지점

이 기록에서 확인되는 원인은 계산 자체보다 식을 간단히 만드는 과정에서 동치인 부등식을 유지하는 조건을 먼저 확인하지 않은 데 있다. 2를 곱할 때는 왼쪽 전체와 오른쪽 전체에 동시에 적용해야 하므로 2(0.5x+1)>2·3으로 시작해야 한다.

학생은 부등호를 기준으로 양쪽에 같은 색의 괄호를 그리고, 두 괄호 위에 각각 ×2를 적었다. 그 뒤 x+2>6, x>4로 정리했다. 마지막에는 경계값을 확인하기 위해 x=5와 x=4를 원래 식에 대입했다. 5는 조건을 만족하고 4는 등호가 되어 strict inequality의 경계임을 구분할 수 있다.

음수 소수 계수에서 확인한 다음 장면

이후 제시된 새 식은 -0.25x+2≤5였다. 학생은 먼저 양변에 4를 곱해 소수를 없앤 다음, 음수 계수로 나누는 줄에서만 부등호 방향을 바꾸었다. 같은 문제를 다시 푼 것이 아니라 계수와 조건이 달라진 식에서 앞서 만든 기준을 혼자 꺼낸 장면이다.

다음 기록에서 교정이 유지됐다고 판단하려면 각 줄의 연산이 양변에 함께 표시되어야 한다. 음수로 나누는 순간에만 부등호가 뒤집히고, 경계값 검산까지 남아 있으면 완료 기준에 도달한 것으로 본다. 한쪽에만 배수를 적용한 식이 다시 나타나면 그 줄부터 재확인한다.