이천동수학과외

답안에는 내적 계산인 3×1+1×1=4가 정확히 적혀 있었지만, 그 옆의 ÷√2 칸은 비어 있었다. 기준 벡터 b=(1,1)의 길이를 구하는 과정과 단위벡터 b/|b| 표시도 남아 있지 않았다.

학생은 내적이 한 벡터가 다른 벡터 방향으로 향한 정도를 나타내는 값이라는 점에 집중해, 내적의 스칼라값 4 자체를 정사영 길이로 판단했다. 그러나 이때 기준 벡터가 단위벡터인지 확인하지 않았기 때문에, 방향 성분과 실제 길이를 구분하는 단계가 빠졌다.

4라는 숫자 뒤에 빠진 기준 벡터의 길이

b=(1,1)은 단위벡터가 아니며, 그 길이는 |b|=√(1²+1²)=√2이다. 따라서 a를 b 방향으로 정사영한 길이는 내적만으로 끝내지 않고 |a·b|/|b|를 적용해야 한다.

답안의 성분곱 합 4는 출발 계산으로는 맞았다. 빠진 부분은 계산 실수가 아니라, 내적 결과를 기준 벡터의 길이로 나누어 정사영 길이로 바꾸는 적용 단계였다. 그러므로 정사영 길이는 4/√2=2√2가 된다.

내적과 기준 벡터를 따로 적은 수정 기록

교정할 때는 먼저 a·b와 |b|를 서로 다른 칸에 계산하고, 기준 방향을 확인하기 위해 b/|b|를 만들었다. 그다음 |a·b|/|b|=4/√2=2√2를 적고, 그림 속 투영된 선분이 b와 평행한지도 함께 살폈다.

내적이 0인 새 벡터에서 이어진 확인

같은 문제를 다시 적는 데서 멈추지 않고, 조건이 달라진 새 벡터 a=(2,-1), b=(1,2)에 기준을 적용했다. 성분곱을 계산하면 a·b=2×1+(-1)×2=0이므로 정사영 길이는 0이다.

이번에는 성분 하나만 보고 판단하지 않고 내적 전체를 계산한 뒤, 두 벡터가 수직이어서 서로의 방향으로 투영되는 길이가 없다는 기하적 의미까지 연결했다. 기준 벡터가 단위벡터가 아니어도 내적과 길이를 분리해 적는 절차가 유지되는지 확인한 것이다.

다음 문항에서는 내적과 기준 벡터의 길이를 각각 기록했는지, 정사영 길이가 각도 관계와 맞는지, 수직인 경우 투영 길이가 0으로 나타나는지를 점검 기준으로 삼는다. 이 세 가지가 그림과 계산에서 함께 맞으면 해당 풀이를 완료한 것으로 본다.