작전지구수학과외

A≠B만 적힌 확률표 옆에 곱셈 칸은 비어 있었다. 고3 확률 자료에는 P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(A∩B)=1/4가 주어졌지만, 첫 표시는 ‘서로 다른 사건’이라는 이유로 독립에 O를 표시한 상태였다.

사건 이름의 차이와 독립 조건은 별개

처음 판단에서는 A와 B가 같은 사건이 아니고 서로 다른 결과를 가리킨다는 점이 독립의 근거로 사용됐다. 그러나 사건의 명칭이나 내용이 다르다는 사실만으로는 독립 여부를 결정할 수 없다.

답안에는 A≠B라는 메모만 있었고, P(A)P(B)와 P(A∩B)를 비교한 식은 없었다. 기록을 수치로 옮기면 P(A)P(B)=1/2×1/3=1/6이고, 주어진 교집합 확률은 1/4이므로 두 값이 같지 않다.

비어 있던 곱셈 칸에 들어간 판정 근거

독립 여부는 P(A∩B)=P(A)P(B)가 성립하는지로 확인한다. 이 자료에서는 1/4≠1/6이므로 두 사건은 독립이 아니다. 조건부확률로 확인하면 P(A|B)=(1/4)/(1/3)=3/4가 되어 P(A)=1/2와도 다르다.

교정표에는 주변확률 P(A), P(B), 교집합 확률 P(A∩B)를 세 칸에 나누어 적었다. 그다음 주변확률의 곱을 먼저 계산하고 교집합 값과 등호로 비교한 뒤 X를 표시했으며, 아래에 조건부확률을 두 번째 확인으로 남겼다. 계산을 못해서 생긴 오류가 아니라, 확률 사이의 관계를 확인하지 않고 사건의 다름을 기준으로 삼은 오류였던 셈이다.

숫자가 바뀐 분할표에서 먼저 적은 식

사흘 뒤 새 분할표에서는 P(C)=0.4, P(D)=0.5, P(C∩D)=0.2를 읽었다. 이번에는 사건 설명을 보고 결론내리지 않고 0.4×0.5=0.2를 먼저 적은 뒤 교집합 값과 비교해 독립으로 판단했다.

표현과 사건 이름이 달라져도 같은 등식이 첫 근거로 사용됐다는 점을 확인했다. 다음 자료에서도 주변확률과 교집합 확률을 정확히 읽고, 곱을 계산한 뒤 등호 성립 여부를 표시해야 풀이가 완료된 것으로 본다. ‘서로 다르다’는 말만 적은 경우에는 답이 맞더라도 판단 과정이 충분하지 않은 것으로 점검한다.