중산동수학과외

공책에는 계산식보다 먼저 빈 답칸 두 칸이 나뉘어 있었다. 문제는 x²+4x+7=0의 해가 있는지 판단하는 중3 이차방정식이었고, 학생은 이차방정식이라는 이유만으로 서로 다른 두 해가 들어갈 자리를 먼저 만든 상태였다.

근의 공식 모양만 남은 첫 답안

첫 답안에는 근의 공식 모양만 그려져 있었고 실제 대입과 계산은 이어지지 않았다. 그래프를 그린 흔적도, 완전제곱식으로 바꾼 기록도 비어 있어 해를 구하기 전에 답의 개수를 정한 흐름이 확인됐다.

처음 기준은 x²항의 존재였다. 학생은 ‘이차’라는 이름을 해의 개수 2와 연결했지만, 이차방정식의 차수가 실수 해의 개수를 항상 결정하는 것은 아니다. 식이 실제로 0이 될 수 있는지를 먼저 확인해야 했다.

식의 값 범위를 살피자 답칸의 전제가 달라졌다

x²+4x+7을 완전제곱식으로 바꾸면 (x+2)²+3이 된다. 여기서 제곱 부분의 최소값은 0이므로 전체 식의 최소값은 3이다. 따라서 실수 x에 대해 식의 값은 언제나 3 이상이고, 0이 될 수 없다.

수정 풀이에는 제곱 부분의 최소값 0과 전체 최소값 3이 따로 표시됐다. 좌표평면에는 꼭짓점 (-2, 3)을 찍었고, 포물선이 x축과 만나지 않는다는 점도 함께 확인했다. 이 과정을 거쳐 답은 두 칸을 채우는 문제가 아니라 ‘실수 범위에서 해 없음’으로 정리됐다.

새로운 두 식에서 나란히 확인한 판단

이 기준이 같은 식의 재풀이에만 머물렀는지는 조건을 바꾼 자료에서 확인했다. x²-6x+9=0은 (x-3)²=0으로 바꾸어 해가 하나임을 판단했고, x²-6x+10=0은 (x-3)²+1=0으로 정리해 실수 해가 없다고 구분했다.

두 식 모두 x²항을 포함하지만 결과는 같지 않았다. 학생은 차수만 보고 답칸을 정하지 않고, 최소값과 그래프의 x축 교점 수를 먼저 살펴 각각의 해 개수를 설명했다.

다음 공책에서 확인할 표시

다른 이차방정식에서도 완전제곱식으로 변형한 뒤 식이 0이 될 수 있는지 판단하고, 그래프의 x축 교점 수와 해의 개수를 일치시켜 설명하면 이 판단 기준이 유지된 것으로 본다. 반대로 답칸을 먼저 나누거나 ‘이차라서 두 개’라고 적는다면 최소값 확인 단계부터 다시 점검해야 한다.