원대동고등수학과외

유형명을 가린 자료에서 학생은 내적이 0보다 작게 계산된 문항을 풀면서도 각을 예각으로 표시했습니다. 문제 이름이나 익숙한 기호를 먼저 떠올린 뒤, 계산 결과의 절댓값만 보고 각의 종류를 정한 기록이었습니다.

원답과 풀이 순서를 대조하자 내적의 부호와 cosθ의 부호가 어떻게 연결되는지 설명한 흔적이 없었습니다. 문제 이름이 사라지자 어떤 성질을 선택해야 하는지 판단하는 근거도 함께 사라진 것이 실제 원인이었습니다.

학생은 내적을 두 벡터의 크기의 곱으로 나누어 cosθ를 구하고, 그 부호를 각의 판단과 연결했다. 이 계산은 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때 가능하다. 예각은 0<cosθ<1, 직각은 cosθ=0, 둔각은 -1<cosθ<0이며 cosθ=1과 -1은 각각 0°와 180°로 따로 확인해야 한다.

재확인 자료에는 성분에 매개변수가 포함된 문항이 제시되었다. 수직 조건은 두 벡터가 영벡터가 아닌 상태에서 내적을 0으로 놓고, 둔각 조건은 내적이 음수인지와 서로 반대 방향인 180°가 아닌지를 함께 확인한다. 매개변수에 따라 이 예외들이 생기는지 분리해 판단해야 한다.

다음 점검에서는 유형명을 보지 않고도 선택한 공식이나 성질의 적용 조건을 말하게 합니다. 계산값만 제시하는 것이 아니라 내적의 부호가 cosθ의 부호로 어떻게 이어지는지 답안에 남아 있는지를 확인합니다.