가좌동수학과외

참 표시가 붙은 답안 옆에는 도함수 부호표가 비어 있었다. 고2 미분 기록지에서 학생은 “미분가능한 함수가 x=0에서 극값을 가지면 f′(0)=0이다”라는 명제를 보고, 그 반대 방향인 “f′(0)=0이면 반드시 극값을 가진다”에도 참을 표시했다.

답안에는 f′(0)=0이라는 값만 동그라미로 남아 있었고, x=0의 좌우에서 f′의 부호가 바뀌는지를 확인한 흔적은 없었다. 원명제와 역의 화살표도 구분되지 않은 채 같은 방향처럼 한 줄에 겹쳐 적혀 있었다.

필요조건을 충분조건으로 읽은 첫 결론

처음 판단의 기준은 원명제가 참이라는 사실이었다. 극값에서 도함수가 0이 된다는 내용을 확인한 뒤, 도함수가 0인 점이라면 모두 극값일 것이라고 확장한 것이다. 여기서 빠진 것은 계산 절차가 아니라 명제의 방향을 따로 검사하는 단계였다.

f′(0)=0은 극값을 판단할 때 살펴볼 후보 조건이지, 그 자체만으로 극값을 보장하는 충분조건은 아니다. 이 차이는 반례를 대입하면 분명해진다.

x³의 도함수 부호가 멈춰 세운 역명제

f(x)=x³을 놓으면 f′(x)=3x²이고 f′(0)=0이다. 그러나 0의 왼쪽과 오른쪽에서 도함수는 모두 음수가 되지 않고 양수로 유지되므로, 함수는 양쪽에서 계속 증가한다. 따라서 x=0은 극값이 아니다.

이 기록을 통해 학생의 누락 지점은 미분법을 몰랐거나 계산을 틀린 데 있지 않다는 점이 드러났다. 원명제 p와 q를 정한 뒤 p→q와 q→p를 각각 확인하지 않은 것이 역을 참으로 받아들인 직접적인 원인이었다.

화살표를 나누고 반례 칸을 만든 풀이

교정할 때 조건표에 p를 “x=0에서 극값”, q를 “f′(0)=0”으로 적었다. 이어 p→q와 q→p를 별도의 화살표로 표시해, 원명제와 역을 한 문장처럼 읽지 않도록 풀이의 첫 줄을 바꾸었다.

역의 방향은 f(x)=x³으로 검사했다. f′(x)=3x²를 이용해 x=0의 좌우 부호를 확인하고, 부호가 바뀌지 않는다는 내용을 반례 칸에 남겼다. 이제 도함수 값 0만 확인하는 것이 아니라, 그 점을 기준으로 부호가 변하는지까지 판단 근거에 포함한다.

같은 표에서 갈린 x⁴와 x³

마지막 기록에는 f(x)=x⁴과 f(x)=x³이 함께 제시되었다. 학생은 먼저 두 함수 모두 f′(0)=0임을 적은 뒤, 도함수 부호가 달라지는지를 같은 방식으로 비교했다.

x⁴의 도함수는 f′(x)=4x³이므로 0의 왼쪽에서는 음수, 오른쪽에서는 양수로 바뀐다. 반면 x³의 도함수 3x²은 양쪽에서 부호가 바뀌지 않는다. 두 함수가 같은 도함수 값을 가져도 극값 여부가 달라지는 이유를 한 표 안에서 구별한 셈이다.

다음 함수 관계 문항에서 p→q와 q→p의 방향을 각각 쓰고, f′(0)=0인 점의 좌우 부호 변화를 확인한 뒤 거짓인 방향에 조건을 만족하는 반례까지 제시하면 이 교정은 완료된 것으로 본다.