논공수학과외

고3 접선 공책의 첫 줄에는 곡선 y=x²에 점 (0,-4)에서 그은 접선의 개수를 구하는 과정이 남아 있었다. 학생은 주어진 점의 x좌표 0을 접점으로 보고, f'(0)=0과 y=-4를 한 줄에 섞어 접선이 한 개라고 적었다.

이 표시에서 먼저 살펴볼 부분은 계산 결과보다 점의 역할이었다. (0,-4)는 곡선 위에 있는 점이 아니라 접선이 지나가야 하는 바깥점이고, 접점은 곡선 y=x² 위에서 따로 찾아야 한다. 답안에는 접점을 나타내는 문자가 없었기 때문에 두 점이 같은 대상으로 처리됐다.

주어진 점과 곡선 위의 점을 나누어 적기

접점의 x좌표를 t로 두면 곡선 위 접점은 (t,t²)이다. 이때 미분계수는 f'(t)=2t이므로 접선식은

y=2t(x-t)+t²=2tx-t²

가 된다. 여기서 (0,-4)는 접점 좌표로 넣는 값이 아니라 이 직선이 지나야 하는 통과점으로 사용한다. 따라서

-4=2t·0-t²

이고, t²=4이므로 t=2 또는 t=-2이다. 접점이 두 개라는 뜻이며, 각각의 접점에서 서로 다른 접선이 만들어진다.

근의 개수와 접선식까지 연결한 기록

수정 풀이에서는 통과점 (0,-4), 접점의 x좌표 t, 곡선 위의 값 f(t), 기울기 f'(t)를 별도 위치에 적었다. 그런 다음 접선식을 만든 뒤 통과 조건을 대입하고, 두 값의 t가 실제로 서로 다른 직선을 만드는지 확인했다.

이 절차를 거치면 ‘주어진 점의 x좌표를 바로 미분식에 넣는다’는 처음 기준과, ‘접점을 먼저 정한 뒤 접선이 통과점을 지나도록 한다’는 새 기준이 분명히 나뉜다. 논공수학과외에서 이 장면을 확인할 때도 답만 맞혔는지가 아니라 점의 역할이 풀이 안에서 분리되어 있는지를 함께 본다.

(0,-9)에서 다시 드러난 접점 설정

조건을 바꾼 새 문항에서는 같은 곡선 y=x²에 점 (0,-9)에서 접선을 그었다. 학생은 이번에는 0을 접점으로 정하지 않고 처음부터 t를 두었다.

접선식에 통과점 (0,-9)를 대입하면 -t²=-9가 되어 t=3, t=-3을 얻는다. 숫자가 달라져도 두 접점과 두 접선이 생기는 구조를 혼자 재현했다는 점에서, 새 판단 기준이 다른 문항에도 이어졌는지 확인할 수 있었다.

다음 공책에서 확인할 표시

다음 곡선 밖의 점 문항에서는 접점 변수와 통과점을 분리했는지, 접선식이 만들어졌는지, 통과 조건이 대입됐는지를 순서대로 살핀다. 방정식의 근 개수만 세고 각 근이 실제 접선으로 이어지는지 식으로 확인하지 않았다면 풀이가 끝난 것으로 보지 않는다.