단계동수학과외

답안에는 원기둥 그림과 함께 원 모양에 체크가 되어 있었다. 회전축은 세로로 표시되어 있었지만, 절단면이 축과 어떤 관계를 이루는지는 그림에 남아 있지 않았다. ‘원기둥 단면=원’이라는 메모만으로 답을 고른 흔적이었다.

입체 이름보다 먼저 봐야 했던 선

중3 회전체 문제에서 가로 3cm, 세로 5cm인 직사각형을 세로변을 축으로 회전하면 원기둥이 만들어진다. 이때 회전축을 지나는 평면으로 평행하게 자르면 밑면과 같은 원이 아니라, 원기둥의 지름과 높이를 변으로 갖는 직사각형 단면이 생긴다.

직사각형의 가로 3cm가 회전하면서 원기둥의 반지름이 되므로 지름은 6cm이다. 세로 길이는 그대로 높이가 되어 단면은 가로 6cm, 세로 5cm인 직사각형이다.

처음 선택을 만든 판단 기준

학생은 원기둥을 자르면 어느 방향에서든 밑면과 같은 원이 나온다고 판단했다. 따라서 회전축은 확인했지만, 절단면의 방향을 답 선택 과정에 넣지 않았다. 문제의 입체 이름이 원기둥이라는 점이 절단 결과를 결정한다고 본 것이다.

그러나 풀이 기록을 따라가면 회전체의 모양을 몰랐던 것이 아니다. 빠진 부분은 절단면이 회전축에 수직인지, 축을 지나며 평행한지 확인하는 단계였다. 이번 조건은 축을 지나는 평면으로 평행하게 자르는 경우이므로, 축 방향의 높이와 원기둥의 지름이 단면의 두 변이 된다.

축과 절단면을 서로 다른 색으로 나눈 표

수정한 모형에서는 회전축과 절단면을 다른 색으로 표시했다. 이어 축에 수직인 절단은 원, 축을 지나며 평행한 절단은 지름×높이의 직사각형으로 표를 나누고, 주어진 조건을 두 번째 칸에 연결했다.

이 표는 단면의 모양을 입체 이름만으로 정하지 않게 하는 장치가 되었다. 원기둥이라는 말보다 먼저 절단면의 방향을 표시하고, 그 방향에 맞는 단면을 선택하도록 풀이 순서가 바뀐 것이다.

원뿔 그림에서도 먼저 표시한 관계

조건을 바꾼 새 자료에는 원뿔을 축에 수직인 평면과 축을 지나는 평면으로 각각 자르는 그림이 제시되었다. 학생은 이번에는 원뿔이라는 입체 이름부터 떠올리지 않고, 두 그림에서 절단 방향을 먼저 표시했다.

축에 수직인 경우에는 원을, 축을 지나는 경우에는 이등변삼각형을 구분했다. 같은 문제를 다시 푼 것이 아니라, 절단 조건이 달라진 새 회전체에서 표의 기준을 혼자 꺼내 적용한 사례다.

다음 회전체에서 확인할 표시

다음 점검에서는 정답을 몇 개 맞혔는지만 보지 않는다. 새 회전체의 그림에서 절단면과 회전축의 관계가 먼저 표시되어 있는지, 선택한 단면을 그 방향에 맞는 이유와 함께 설명하는지를 확인한다.

이 두 순서가 남아 있으면 단면을 고르는 기준이 입체의 겉모양에서 축과 평면의 관계로 옮겨졌다고 판단한다.