반곡동수학과외

고2 경우의 수 풀이 기록은 두 큰 원이 겹친 그림에서 시작했다. 문제의 조건은 8명 중 3명을 뽑되 A와 B 중 적어도 한 명을 포함하는 것이었다. 답안에는 A가 포함되는 경우와 B가 포함되는 경우를 나타낸 원은 있었지만, 겹친 부분을 빼는 식은 적혀 있지 않았다.

7C2와 7C2를 더한 뒤 생긴 겹침

학생은 A가 들어가는 선택을 7C2, B가 들어가는 선택을 7C2로 계산했다. 두 값을 더하면 A 또는 B가 들어가는 선택을 빠짐없이 한 번씩 센다고 판단했지만, 두 경우는 서로 겹칠 수 있었다. A와 B가 함께 포함된 선택은 두 원에 동시에 들어가므로 답안에서 두 번 세어진다.

따라서 처음의 판단 기준은 ‘각 조건에 해당하는 경우를 계산해 더하면 중복 없이 전체가 된다’는 것이었다. 그러나 기록에서 드러난 문제는 조합 계산 자체가 아니었다. A와 B가 함께 포함된 선택처럼 두 조건을 동시에 만족하는 경우가 있는지 확인하지 않은 것이 오류의 시작점이었다.

여사건으로 먼저 세운 수정 답안

수정 답안에서는 조건을 만족하는 경우를 직접 나누기 전에, 조건을 만족하지 않는 경우를 살폈다. 전체 선택은 8C3이고, A와 B가 모두 빠지는 선택은 나머지 6명 중 3명을 뽑는 6C3이다. 그러므로 원하는 경우는 8C3-6C3으로 나타낼 수 있다.

이어 직접 센 식에도 겹침을 표시했다. A가 포함된 경우와 B가 포함된 경우를 더한 뒤, A와 B가 모두 포함된 경우인 6C1을 한 번 빼서 7C2+7C2-6C1로 정리했다. 여사건 식과 포함배제 식의 값이 같은지 확인하면서, 그림의 교집합이 계산식에 반영되었는지도 함께 점검했다.

인원이 늘어난 새 조건에서 확인한 첫 식

다음 자료에서는 9명 중 4명을 뽑되 C, D, E 중 적어도 한 명을 포함하는 조건으로 바뀌었다. 학생은 이전 식을 그대로 복사하지 않고, 지정된 세 명을 전부 제외한 경우를 먼저 만들었다. 즉 전체 9C4에서 C, D, E가 모두 빠진 나머지 6명 중 4명을 뽑는 6C4를 빼는 구조를 스스로 세웠다.

인원과 지정 대상이 달라졌는데도 ‘전체-여사건’의 첫 식이 나왔다는 점은 판단 기준이 새 문제에 옮겨졌는지를 보여 준다. 다음 점검에서는 정답의 개수만 보지 않고, 적어도 조건에서 전체 선택을 썼는지, 여사건을 정확히 제외했는지, 또는 겹침을 한 번만 보정했는지를 확인한다. 작은 사례를 들어 중복 여부까지 설명하면 이 풀이 절차를 완료한 것으로 본다.