도마동수학과외

고2 시그마 풀이 기록을 살펴보면서 첫 줄의 Σ(k=1부터 n까지)(2k-1)에서 합 기호 밖에 남은 -1이 출발점이 되었다. 답안에는 시작값 k=1과 끝값 k=n은 표시되어 있었지만, 항의 개수는 어느 줄에도 적혀 있지 않았다.

2Σk-1로 줄인 첫 줄에서 생긴 판단

학생은 합 기호가 문자 k가 들어 있는 항에만 적용된다고 보았다. 그래서 2k는 반복해서 더하지만 상수 -1은 식 전체에서 한 번만 빼면 된다고 판단해 2Σk-1로 정리했다.

하지만 앞의 세 항을 직접 적으면 1, 3, 5이고, 원래 식은 각 항에서 매번 1씩 빠지는 형태다. 따라서 상수항에도 합 기호의 반복 횟수가 연결되어야 한다는 점이 답안의 빈 단계로 드러났다.

Σ1이 빠진 자리에 항 개수를 적다

수정 과정에서는 합의 선형성을 이용해 Σ(2k-1)=2Σk-Σ1로 나누어 썼다. k=1부터 k=n까지의 1은 모두 n번 더해지므로 Σ1=n이 된다.

이후 답안 아래에 첫 항, 둘째 항, 마지막 항을 펼쳐 상수 -1이 반복되는 모습을 확인했다. 그 기록을 바탕으로 2·n(n+1)/2-n을 계산해 n²으로 정리했다.

시작 인덱스가 달라진 합에서 확인한 기준

같은 식을 다시 쓰는 데서 멈추지 않고, 새 자료의 Σ(k=3부터 n까지)(3k+2)에 기준을 적용했다. 이번에는 먼저 항의 개수를 n-2로 표시한 뒤 Σ1=n-2를 사용해 상수 2가 몇 번 더해지는지 반영했다.

다음 점검에서는 시작 인덱스가 달라진 합에서도 항 개수를 정확히 구하고, 모든 상수항에 그 횟수를 반영하는지 살핀다. 일부 항을 펼쳐 식을 검산하는 순서까지 남아 있으면 이 교정이 유지된 것으로 본다.

풀이 기록에서 달라진 작은 장면들

처음에는 -1을 합 기호와 떨어진 채 적어 두어서 그 숫자가 왜 한 번만 빠지는지 따져 보지 않았다. 앞의 항 몇 개를 써 보니 같은 숫자가 계속 나타나는 모습이 눈에 들어왔다.

수정한 답안에는 식을 한 번에 줄이지 않고 2Σk-Σ1처럼 두 부분으로 나눈 표시가 남았다. 숫자를 분리해 적고 나니 상수항의 횟수를 건너뛰기 어려웠다.

이제 새로운 시그마 식을 보면 계산부터 시작하지 않고, 어디에서 시작해 어디에서 끝나는지와 항이 몇 개인지를 먼저 적게 된다. 첫 줄에 짧은 표시 하나가 추가된 셈이다.

k=3에서 시작하는 식에서는 예전처럼 끝 인덱스만 보고 판단하지 않았다. 시작점이 바뀌면 항 개수도 달라진다는 것을 확인한 뒤, 상수 2가 더해지는 횟수까지 함께 기록했다.

며칠 뒤 비슷한 식을 다시 보았을 때는 일부 항을 펼쳐 보며 마지막 상수항이 빠지지 않았는지 스스로 확인할 수 있었다. 다음에는 항 개수와 전개 검산 표시가 처음부터 남아 있는지를 점검하게 된다.