무실지구수학과외

표준정규분포표 옆에 놓인 첫 식은 X~N(70,5²)에서 P(X≤75)를 구하는 과정이었다. 답안에는 75와 5에만 밑줄이 있고 평균 70에는 표시가 없었다. 학생은 z=75/5=15라고 적은 뒤 표의 끝부분을 찾았다.

관측값을 바로 나눈 식에서 빠진 기준점

처음 판단은 표준화가 관측값을 표준편차로 나누는 작업이라는 생각에 바탕을 두고 있었다. 세 수 중 경계값 75와 표준편차 5만 공식에 넣으면 된다고 보았고, 평균 70은 분포의 모양을 알려 주는 정보로만 남겨 두었다.

하지만 답안과 분포 그림을 함께 보니 표를 읽는 기술보다 앞선 단계에서 빈틈이 드러났다. 그림의 중심 70과 경계 75 사이에 거리를 표시하지 않았고, 평균에서 경계까지 얼마나 떨어졌는지도 식에 연결하지 않았다.

표준점수는 원분포의 평균에서 출발한다

표준점수는 관측값 자체의 크기를 재는 값이 아니다. 원분포의 평균을 기준으로 관측값이 몇 표준편차만큼 떨어져 있는지를 나타낸다. 따라서 이 문항에서는 75에서 평균 70을 뺀 거리 5를 먼저 구해야 한다.

z=(75-70)/5=1이므로 경계값 75는 평균보다 표준편차 1개만큼 오른쪽에 있다. 표에서 찾아야 할 값도 z=15가 아니라 P(Z≤1)의 왼쪽 누적 영역이다.

수직선의 +5와 z=1을 분리해 남긴 수정

수정 기록에는 수직선의 중심에 70, 경계에 75를 표시하고 두 수 사이에 ‘+5’를 적었다. 그 아래에 z=(75-70)/5=1을 쓴 다음, 표의 누적 방향에 맞춰 평균 70에서 왼쪽 경계까지의 영역을 칠했다.

표준화식과 누적 영역은 한 번에 처리하지 않고 서로 다른 검산 칸에 나누어 기록했다. 이 방식은 식의 기준점과 표에서 읽을 영역을 각각 확인하게 해 주었다.

평균 68, 표준편차 3인 새 구간에서 확인한 표시

조건이 바뀐 새 문항은 평균 68, 표준편차 3인 분포에서 62≤X≤74의 확률을 구하는 문제였다. 학생은 표를 펼치기 전에 양끝 경계에서 평균을 각각 빼 z=-2, z=2를 먼저 적었다.

이어 수직선의 가운데 구간을 음영으로 표시해 구하려는 영역을 확인했다. 양쪽 경계가 평균을 기준으로 대칭인지 부호와 그림으로 점검한 뒤 표를 읽었고, 원자료의 표준화 절차에 맞춰 풀이를 이어 갔다.

다음 문항에서 볼 세 가지 흔적

교정이 유지됐다고 판단하려면 정답만 맞았는지를 보지 않는다. 경계값에서 평균을 뺀 차이, 그 차이를 표준편차로 나눈 z값, 그리고 구하는 영역의 방향이 계산 전에 모두 남아 있어야 한다.

좌우 경계가 있는 문항에서는 두 z값의 부호가 그림과 일치해야 한다. 평균 표식 없이 결과만 맞은 경우에는 풀이가 같은 기준으로 진행됐는지 다시 살핀다.