백석동수학과외

점검표의 첫 장에는 a=3, b=3을 대입한 기록만 남아 있었다. 두 제곱이 모두 9가 되자 학생은 ‘a²=b²이면 a=b이다’에 참을 표시했지만, 반대 부호를 확인하는 칸은 비어 있었다.

같은 제곱값이 같다는 결론으로 이어진 까닭

처음 판단의 기준은 두 수의 제곱 결과가 같으면 원래 수까지 같다는 것이었다. 그러나 제곱을 하면 부호 정보가 사라질 수 있으므로, 양수 사례 하나만으로 명제 전체를 참이라고 판단할 수 없다.

a=3, b=-3을 넣으면 a²=9, b²=9이므로 조건은 만족한다. 하지만 a=b는 성립하지 않는다. 따라서 (3,-3)은 조건 O, 결론 X인 반례가 된다.

|a|에서 나누어 본 두 가지 가능성

a²=b²는 두 수의 절댓값이 같다는 뜻이므로 |a|=|b|로 해석해야 한다. 이때 a와 b는 같은 수일 수도 있고, 서로 반대 부호인 수일 수도 있다.

수직선에 3과 -3을 함께 표시한 뒤 각각 제곱하면 모두 9가 된다. 이 기록을 바탕으로 결론은 ‘a=b 또는 a=-b’로 고쳤고, 원래 문장은 반례 때문에 거짓이라고 정리했다.

새 카드에서 먼저 찾은 -5

교정 뒤에는 같은 문제를 반복하지 않고 조건이 바뀐 카드를 확인했다. ‘|x|=5이면 x=5이다’라는 주장에 학생은 수직선에서 5와 -5를 먼저 표시했다.

x=-5도 |x|=5를 만족하지만 x=5라는 결론은 만족하지 않는다. 조건을 만족하면서 결론을 깨뜨리는 값을 스스로 제시했으므로, 다음 자료에서도 양수와 음수 값을 모두 살피는 기준이 작동한 것으로 볼 수 있다.