불당동수학과외

답안에는 sin x/cos x·cos x=sin x라는 한 줄과 “항상 참”이라는 결론이 남아 있었다. cos x를 약분한 뒤 식의 모양이 같아졌다는 점만 보고 모든 실수 x에 적용한 것이다. 그러나 x=π/2에서는 tan x 자체가 정의되지 않으므로, 약분된 식만으로 처음 식의 범위를 넓힐 수 없다.

약분된 cos x와 함께 사라진 값

고2 삼각함수 관계표에서 확인한 식은 tan x·cos x=sin x였다. 학생은 tan x=sin x/cos x를 대입해 cos x를 약분했고, 계산 줄만 보면 sin x가 남는 과정은 자연스러웠다. 빠진 부분은 식 변형 전에 두 식이 동시에 정의되는 범위를 적는 일이었다.

처음 판단 기준은 대수적으로 양변이 같은 형태가 되면 항등식이라는 것이었다. 분모였던 cos x가 약분되면 처음 식에 있던 제한도 사라진다고 보았기 때문에, x=π/2처럼 cos x=0인 각을 따로 확인하지 않았다.

공식이 아니라 정의역을 놓친 기록

이 답안에서 공식 자체를 몰랐다고 보기는 어렵다. tan x가 sin x/cos x로 표현된다는 관계를 사용했고 약분 과정도 적었다. 문제는 tan x가 정의되려면 cos x≠0이어야 한다는 조건을 식의 출발점에서 함께 관리하지 않은 데 있었다.

따라서 tan x·cos x=sin x는 cos x≠0인 공통 정의역에서 성립한다. 반면 x=π/2+kπ에서는 tan x가 정의되지 않으므로 “모든 실수 x에서 성립한다”는 문장은 맞지 않는다. 약분으로 제한값이 새로 생긴 것이 아니라, 원래 식에 있던 정의 조건을 답안에서 지워 버린 셈이다.

첫 줄에 제한조건을 옮긴 수정 풀이

수정한 답안은 cos x≠0을 먼저 적는 방식으로 시작했다. 단위원에서 cos x가 0이 되는 각을 제외한 뒤, 그 범위 안에서만 tan x=sin x/cos x를 대입하고 cos x를 약분했다. 마지막 문장도 “cos x≠0인 x에서 성립”으로 고쳐 계산 결과와 설명의 범위를 일치시켰다.

불당동의 초등·중등·고등 학습 자료를 살펴볼 때도 삼각함수 항등식은 공식 암기만으로 기록을 판단하기 어렵다. 한 줄의 약분이 어떤 값을 제외하고 진행됐는지, 결론에 그 범위가 남아 있는지를 함께 확인해야 풀이의 의미를 정확히 읽을 수 있다.

새 식에서 먼저 보인 분모 조건

교정이 다른 문제에도 이어졌는지는 새로운 식에서 확인됐다. 이번에는 (1-cos²x)/sin x=sin x의 성립 범위를 판단해야 했는데, 학생은 피타고라스 관계를 쓰기 전에 sin x≠0을 먼저 적었다. x=kπ에서는 왼쪽 식이 정의되지 않는다는 점도 함께 확인했다.

공식의 모양은 달라졌지만, 분모 조건을 첫 줄에 두고 공통 정의역 안에서만 변형하는 절차는 그대로 꺼냈다. 같은 문제를 다시 푼 결과가 아니라 조건이 달라진 새 식에서 이 기준을 사용했다는 점이 재적용의 근거가 됐다.

답안에서 확인할 다음 표시

다음 삼각함수 항등식을 점검할 때는 정답 개수보다 풀이의 순서를 본다. 모든 분모와 tan·cot의 정의 조건을 식 변형 전에 모았는지, 공통 정의역 안에서 한쪽 식을 다른 쪽으로 바꾸었는지, 마지막 결론에 성립 범위를 명시했는지가 기준이다.

약분을 끝낸 뒤 제한값을 뒤늦게 덧붙였다면 다시 살펴볼 필요가 있다. 처음부터 정의 조건을 적고 그 범위 안에서 계산했다면 이번 교정은 완료로 판단한다.