삼산지구수학과외

반례 기록지의 첫 줄에는 “함수가 연속이면 미분가능하다”라는 명제와 함께, 연속 그래프는 끊기지 않으므로 기울기도 항상 존재한다는 판단이 적혀 있었다. 그러나 명제의 방향 화살표와 반례 칸은 비어 있었다.

연속성과 미분가능성을 같은 조건으로 본 기록

학생은 그래프가 끊기지 않으면 모든 점에서 접선을 그을 수 있다고 보았다. 이 기준에서는 연속성과 미분가능성이 같은 수준의 조건처럼 다뤄지고, ‘연속이면 미분가능하다’와 ‘미분가능하면 연속이다’가 서로 구분되지 않는다.

답안에는 ‘연속→미분가능’만 남아 있었고, 역방향인 ‘미분가능→연속’과 비교한 흔적은 없었다. 특히 뾰족점이 있는 그래프를 넣어 명제가 유지되는지 시험한 기록도 발견되지 않았다. 따라서 문제는 그래프가 끊겼는지를 보는 데서 끝난 것이 아니라, 두 성질 사이의 방향을 확인하지 않은 데 있었다.

|x|의 x=0에서 드러난 반례

교정할 때는 두 성질을 먼저 미분가능 ⇒ 연속이라는 한 방향의 화살표로 정리했다. 그다음 역명제인 ‘연속이면 미분가능하다’를 검토하기 위해 f(x)=|x|를 대입했다.

확인 항목	x=0에서의 결과
함수값과 극한	함수값과 좌우에서 다가가는 극한이 같음
좌미분계수	-1
우미분계수	1
미분가능성	좌우미분계수가 달라 미분가능하지 않음

이 표에서는 x=0에서 함수가 연속이라는 조건은 만족하지만, 좌우미분계수가 -1과 1로 달라 접선의 기울기를 하나로 정할 수 없다. 따라서 연속이라는 조건만으로 미분가능성을 보장할 수 없으며, 역명제는 거짓이 된다.

방향이 달라진 새 문장에서 확인한 재적용

이후에는 같은 문항을 다시 푸는 대신, “미분가능하지 않으면 연속이 아니다”라는 새 문장을 검토했다. 학생은 이것이 원명제의 대우인지, 역인지, 이인지부터 나누고, |x|를 다시 살펴 연속이지만 미분가능하지 않은 사례이므로 해당 문장이 거짓이라고 설명했다.

다른 함수 성질 명제를 점검할 때도 방향을 화살표로 고정하고, 참인 명제에는 성립 근거를 붙인다. 거짓인 명제라면 조건은 만족하면서 결론을 깨는 반례를 제시해야 완료로 본다. 필요조건과 충분조건이라는 이름만 붙이고 실제 방향이나 사례를 확인하지 않은 경우에는 풀이를 끝내지 않는다.