소양지구수학과외

표의 첫 칸에는 (0,0)만 채워져 있었다. 중1 정수 문제에서 “두 정수 a,b에 대해 a+b=0이면 a=b=0이다”라는 주장을 판단하며, 학생은 a=0, b=0을 대입한 뒤 참이라고 적었다. 그러나 양수와 음수를 짝지은 칸은 비어 있어, 조건을 만족하는 다른 경우를 살핀 흔적이 없었다.

한 사례가 전체를 대표한다고 본 판단

처음 판단 기준은 가장 간단한 성공 사례를 찾는 것이었다. (0,0)은 실제로 a+b=0을 만족하므로, 학생은 이 한 쌍에서 조건과 결론이 함께 맞는다는 사실을 확인하고 전체 주장도 참이라고 판단했다.

하지만 ‘이면’으로 연결된 주장은 한 경우가 맞는지만 확인해서 결정할 수 없다. 조건을 만족하면서 결론이 틀린 정수쌍이 하나라도 있으면 주장은 거짓이 된다. 따라서 표의 한 칸만 채워진 상태는 계산 오류가 아니라 탐색 범위가 한 점에서 멈춘 기록이었다.

b=-a로 넓힌 표에서 드러난 반례

기록을 다시 살피면서 a+b=0을 만족하는 쌍은 (0,0) 하나가 아니라 (t,-t) 형태로 이어진다는 점을 확인했다. a값을 -3부터 3까지 놓고 b=-a를 대응시키자, 양수와 음수가 함께 나타났다.

그중 (2,-2)는 a+b=0이므로 조건은 참이지만 a=b=0이라는 결론은 거짓이다. 교정표에는 이 쌍에 조건 O·결론 X를 표시했다. 반면 (0,0)은 주장을 만족하는 한 예일 뿐, 모든 정수쌍을 대표하는 증거는 아니었다.

곱셈 조건에서 먼저 달라진 탐색

독립 적용 장면에서는 “두 정수 a,b에 대해 ab=1이면 a=b=1이다”라는 새로운 주장을 검토했다. 이번에는 (1,1)을 확인한 뒤 멈추지 않고, 같은 부호를 이루는 음수쌍도 살폈다.

(-1,-1)은 곱이 1이지만 두 수가 모두 1이라는 결론과 맞지 않는다. 학생은 다른 연산의 주장에서도 처음 떠오른 값만 고르지 않고, 반대 부호와 같은 부호처럼 조건을 만들 수 있는 경우를 넓혀 확인했다. 소양지구 생활권에서 정수 단원을 점검할 때도 이처럼 답 자체보다 어떤 경우를 탐색했는지가 풀이 기록에 남는다.

다음 기록에서 확인할 표시

다음 정수 주장에서는 조건을 만족하는 값을 두 종류 이상 찾아야 한다. 거짓이라고 판단할 때는 조건 O·결론 X가 되는 구체적인 순서쌍을 도움 없이 제시하는지가 완료 기준이다.

첫 번째로 떠오른 값만 확인하고 참을 고른 기록이라면 풀이를 다시 점검한다. 반대로 새로운 조건에서 여러 경우를 비교하고 반례를 표시했다면, 한 사례와 전체 주장을 구분하는 판단 기준이 유지된 것으로 볼 수 있다.