신당동수학과외

답안에는 ‘분산’이라는 말에 밑줄이 그어져 있었지만, 학생이 실제로 옮겨 적은 값은 평균 공식에서 나온 3이었다. 고2 확률분포표의 X~B(10,0.3) 문항에서 10×0.3=3을 적고 멈춘 기록이 출발점이었다.

처음 판단은 n과 p가 보이면 대표값처럼 np를 먼저 쓰는 방식이었다. 평균과 분산을 묻는 이름을 확인하기보다 익숙한 공식부터 선택했고, 공식표에서도 E(X)=np 줄만 표시했다.

비어 있던 q 칸이 보여 준 공식 선택의 문제

답안의 흔적을 따라가면 계산 자체가 틀린 것이 아니라, 분산을 구하는 데 필요한 항을 시작하지 않은 점이 드러난다. q=1-p=0.7을 계산하는 칸과 npq 식이 모두 비어 있었다. 이항분포에서 평균은 E(X)=np, 분산은 V(X)=np(1-p)=npq이므로 두 통계량의 역할을 나누어야 한다.

따라서 이 문항의 분산은 10×0.3×0.7=2.1이다. 숫자 3을 잘못 계산한 것이 아니라, 문제에서 요구한 통계량과 공식표의 역할을 연결하지 못해 평균값을 분산의 답처럼 사용한 것이다.

분포표 옆에 두 칸을 만든 뒤 달라진 풀이

교정할 때는 공식을 한 줄에 몰아 적지 않고 분포표 위에 ‘평균’과 ‘분산’ 칸을 따로 만들었다. 평균 칸에는 E(X)=np를, 분산 칸에는 V(X)=npq를 적었다. 이어서 p=0.3 옆에 q=0.7을 만든 다음 분산 칸에서만 세 값을 곱해 2.1을 남겼다.

같은 문항을 다시 푸는 데서 멈추지 않았다. 조건이 달라진 새 자료 X~B(8,0.25) 에서도 학생은 먼저 평균과 분산을 나누어 적었다. 평균 칸에는 E(X)=8×0.25=2 , 분산 칸에는 V(X)=8×0.25×0.75=1.5 가 각각 남았다.

다음 문제에서 시행 횟수와 성공확률이 바뀌어도 묻는 값이 평균인지 분산인지 먼저 표시하는지 확인할 수 있다. 분산을 구할 때 q=1-p를 만든 뒤 npq를 사용했다면, 공식의 이름을 구분해 적용하는 절차가 이어진 것으로 본다.