율암동수학과외

답안에는 밑넓이 24cm²와 높이 9cm를 곱한 216cm³가 적혀 있었지만, 그 옆 부피식에는 ÷3 자리가 비어 있었다. 같은 밑면과 높이를 가진 기둥 그림 안에 뿔 세 개가 들어가는 표시가 남아 있어, 계산보다 먼저 확인할 판단 기준이 필요했던 장면이다.

밑넓이와 높이만 곱한 첫 식

학생은 밑넓이와 높이가 주어지면 모든 입체의 부피를 두 수의 곱으로 구한다고 판단했다. 그래서 사각뿔에서도 24×9=216cm³를 그대로 답으로 적었고, 꼭짓점으로 좁아지는 모양이 기둥과 다른 점은 식에 반영하지 않았다.

이 판단은 겉넓이나 절단면을 잘못 다룬 데서 생긴 것이 아니었다. 기록에서 확인된 핵심은 같은 밑면과 높이를 가진 뿔의 부피가 대응하는 기둥 부피의 1/3이라는 관계를 식에서 빠뜨렸다는 점이었다.

세 개의 뿔로 확인한 빠진 관계

같은 밑면과 높이의 사각기둥 부피는 24×9=216cm³이다. 이 기둥을 같은 부피의 사각뿔 세 개로 나누어 생각하면 뿔 하나의 부피는 기둥 부피의 1/3이므로 216÷3=72cm³가 된다.

교정 과정에서는 실제 그림에 뿔 세 개가 들어가는 표시를 남기고, 풀이식도 두 줄로 나누었다. 먼저 ‘밑넓이×높이’로 기둥 부피 216을 구한 뒤, ‘÷3’을 별도로 적어 사각뿔의 부피 72cm³를 확인했다.

밑면이 달라져도 먼저 적힌 1/3

이후 밑넓이 15cm², 높이 8cm인 삼각뿔 자료가 제시되었을 때는 밑면 모양이 사각형에서 삼각형으로 바뀌었지만 같은 기준을 꺼냈다. 학생은 15×8÷3=40cm³를 적고, 같은 높이를 가진 삼각기둥의 부피와 비교했다.

다음 자료에서 교정이 유지됐다고 판단하는 기준은 정답만 맞히는 데 있지 않다. 밑면 모양과 수치가 바뀐 뿔에서도 대응하는 기둥 부피를 먼저 구하고 1/3을 적용하며, 뿔 세 개의 합이 기둥 부피와 같다는 설명까지 이어지는지를 확인한다.