인천중구수학과외

유리함수 그래프 용지에는 y=1/x+2와 직선 y=2의 교점 개수를 묻는 문제가 있었다. 학생의 답안에는 두 그래프가 가까워지는 오른쪽 끝부분에 점 하나가 찍혀 있었지만, 그 옆에 좌표나 x값은 적혀 있지 않았다.

처음 판단은 그림의 간격에 근거했다. 그래프 사이가 끝으로 갈수록 거의 보이지 않자, 학생은 두 그래프가 한 번 만난다고 보았다. 하지만 가까워지는 모습과 실제로 같은 좌표를 갖는 것은 다른 문제다.

그림에서 보이지 않던 확인 절차

답안에는 두 식을 같게 둔 방정식도 비어 있었다. 따라서 판단의 출발점은 그래프의 모양이 아니라 1/x+2=2를 세우고 실수해가 존재하는지 확인하는 과정이어야 했다.

식을 정리하면 1/x=0이 된다. 어떤 실수 x에 대해서도 0이 되는 분수는 아니므로 이 방정식은 해를 갖지 않는다. x≠0이라는 정의역 조건도 함께 확인해야 하며, y=2는 그래프가 가까워지는 수평점근선이지 그래프가 실제로 통과하거나 만나는 선이 아니다.

점선과 식을 함께 남긴 수정

교정 과정에서 학생은 먼저 y=2를 수평점근선으로 표시하고 그래프에 점선으로 나타냈다. 그다음 두 식을 같게 두어 1/x=0이 불가능하다는 내용을 적었고, 좌표 없이 찍었던 점을 지운 뒤 교점이 0개임을 정리했다.

이동된 함수에서 확인한 독립 적용

다음 자료에서는 함수가 y=-2/(x-1)+3으로 바뀌고 직선은 y=3으로 제시되었다. 이번에는 학생이 그래프의 끝부분에 점부터 찍지 않고, 수평점근선 y=3을 먼저 표시했다.

이후 -2/(x-1)+3=3에서 -2/(x-1)=0을 얻었다. 분자가 0이 되지 않으므로 실수해가 없고, 이동량과 부호가 달라진 새 함수에서도 직선과 그래프의 교점은 0개라는 판단을 혼자 이어 갔다.

다음 유리함수 자료에서 직선이 점근선인지 확인하고, 교점 방정식의 실수해 존재 여부까지 함께 검사하면 풀이가 완료된 것으로 본다. 그림이 가까워 보인다는 이유만으로 좌표를 먼저 찍는다면 같은 기준으로 다시 점검한다.