일신동수학과외

확률 나무도에서 두 사건 A와 B의 독립 여부를 묻는 문항을 풀던 답안에는 P(A)=P(B)라는 등호 옆에 곧바로 ‘독립’이라고 적혀 있었다. 그러나 P(A∩B)와 P(A)P(B)를 비교한 칸은 비어 있었다.

같은 확률이라는 등호가 판단의 출발점이 된 까닭

학생은 두 사건의 확률값이 같으면 발생 가능성이 균형을 이루고, 따라서 서로 영향을 주지 않는다고 판단했다. 이때 독립의 기준을 개별 확률의 크기 비교로 바꾸어 읽은 셈이다.

답안의 ‘확률이 같다’와 ‘서로 영향을 주지 않는다’는 표현이 같은 뜻처럼 연결되어 있었지만, 두 사건의 독립 여부는 주변확률이 같은지로 정하지 않는다. P(A)=P(B)는 두 사건의 확률 크기에 관한 정보일 뿐이다.

비어 있던 칸이 보여 준 실제 누락 단계

기록에서 확인된 원인은 독립 여부를 P(A∩B)=P(A)P(B)로 판정해야 한다는 기준을 적용하지 않은 데 있었다. 특히 표에서 두 사건이 함께 일어나는 교집합 칸을 먼저 찾고 그 확률을 구하는 단계가 빠져 있었다.

따라서 문제는 공식 자체를 모르는 데 있지 않았다. P(A∩B)를 계산한 뒤 두 주변확률의 곱과 대조해야 한다는 판정 절차가 답안에 나타나지 않았다는 점이 핵심이었다.

표에서 교집합 칸을 먼저 표시한 뒤

교정할 때는 분할표에서 A와 B가 동시에 해당하는 칸을 표시하고 P(A∩B)를 계산했다. 이어 P(A), P(B), P(A)P(B)를 각각 별도 줄에 적은 다음, 교집합 확률과 두 주변확률의 곱이 같은지 비교했다.

이 순서를 거치면 P(A)=P(B)라는 등호는 독립 여부를 결정하는 문장이 아니라, 비교할 수 있는 여러 정보 중 하나로 위치가 바뀐다. 독립이라고 쓰기 전에 먼저 교집합과 곱의 관계를 확인하게 되는 것이다.

주변확률이 달라도 같은 기준을 꺼낸 새 표

이후 주변확률이 서로 다른 새 분할표가 제시되었다. 학생은 두 값이 다르다는 인상만으로 독립이 아니라고 판단하지 않고, 먼저 교집합 확률과 P(A)P(B)를 계산했다.

새 자료에서는 P(A∩B)=P(A)P(B)가 성립하는지를 중심에 두고 독립이라고 설명했다. 같은 문제를 다시 푼 것이 아니라 숫자와 주변확률의 조건이 달라진 자료에서 판정 기준을 혼자 재적용한 장면이었다.

다음 답안에서 확인할 순서

다음 표에서도 교집합 칸을 찾아 확률을 계산하고, 두 주변확률의 곱을 따로 구한 뒤 두 값을 비교해 독립 여부를 설명하면 교정이 유지된 것으로 본다. 반대로 P(A)와 P(B)의 크기만 비교해 결론을 내리면 같은 판단 기준이 다시 작동했는지 점검해야 한다.