죽림동수학과외

답안의 마지막 줄은 x³-4x에서 멈춰 있었다. 학생은 이를 미분해 3x²-4가 되는지 확인했고, 계산 자체는 맞았다. 다만 부정적분의 답을 마무리하는 자리에 적분상수 +C가 빠져 있었다.

∫(3x²-4)dx에서 거듭제곱 적분법을 적용하면 x³-4x까지는 얻을 수 있다. 그러나 부정적분은 하나의 함수만 찾는 과정이 아니라 같은 도함수를 갖는 모든 원시함수를 나타내는 과정이다. x³-4x뿐 아니라 x³-4x+5도 미분하면 3x²-4가 된다.

검산 결과가 맞아도 답의 범위가 좁아질 수 있다

처음 학생이 사용한 기준은 “미분해서 피적분함수가 나오면 답은 하나로 확정된다”는 판단이었다. 미분 과정에서 상수항이 사라진다는 사실은 알고 있었지만, 그 성질이 부정적분의 답 전체를 표시하는 +C와 연결되지는 않았다.

따라서 이번 기록에서 확인된 문제는 적분 공식의 적용이나 계산 실수가 아니었다. 부정적분이 모든 원시함수의 모임이라는 점을 답안에 남기지 않아, 가능한 함수를 하나로 제한한 것이 출발점이었다. 정적분과 달리 부정적분에는 구간과 하나의 수치 결과가 제시되지 않는다는 점도 답안에서 구분되지 않았다.

두 상수를 직접 미분해 답의 형태를 넓혔다

교정 과정에서는 먼저 x³-4x+ C를 적고, 풀이 머리에 ‘부정적분’이라고 표시했다. 이어 C=0일 때의 x³-4x와 C=5일 때의 x³-4x+5를 나란히 미분해 모두 3x²-4로 돌아오는지 확인했다.

이후 새 식 ∫(6x-5)dx를 풀 때는 계산 결과를 3x²-5x에서 멈추지 않았다. 학생은 먼저 3x²-5x+C를 적었고, 그중 C=-2인 식을 골라 미분한 뒤 다시 6x-5가 되는지 확인했다. 같은 문제를 반복한 것이 아니라 피적분함수가 달라진 상황에서도 적분상수를 스스로 꺼내 사용한 기록이다.

다음 점검에서는 정답 개수보다 답안의 순서를 본다. 피적분함수가 달라져도 +C를 빠뜨리지 않는지, 서로 다른 상수를 넣은 함수들이 같은 도함수를 갖는 이유를 설명하는지 확인되면 이번 교정이 유지된 것으로 판단할 수 있다.