청천동수학과외

입체도형 활동지에서 가장 먼저 눈에 들어온 흔적은 원뿔 칸이었다. 반지름 3cm, 높이 8cm인 원기둥을 계산한 식 π×3²×8과 72π가 원뿔 칸에도 그대로 옮겨져 있었고, 원뿔 모형 세 개가 원기둥 하나를 채우는 그림에는 별도 표시가 없었다.

학생이 처음 사용한 기준은 밑넓이와 높이가 같으면 입체의 이름이 달라도 부피가 같다는 판단이었다. 그래서 원기둥과 원뿔의 공식을 구분하지 않았고, 원뿔 공식에 있는 1/3을 비교 장면에서 적용하지 않았다.

같은 밑면과 높이에서 빠진 연결 고리

기록을 식으로 다시 놓으면 원기둥의 부피는 밑넓이와 높이를 이용한 Bh이고, 같은 밑넓이와 높이를 가진 원뿔은 1/3Bh이다. 따라서 원기둥의 부피가 π×3²×8=72πcm³일 때 원뿔의 부피는 그 1/3인 24πcm³가 된다.

문제는 1/3을 외우지 못한 데 있지 않았다. 원뿔 세 개가 원기둥 하나를 채운다는 모형의 관계를 식의 1/3과 연결하지 않은 채, 밑면과 높이가 같다는 정보만 부피 비교의 기준으로 삼은 것이 답안에서 확인된 원인이었다.

모형의 3:1을 식 옆에 남긴 방법

교정할 때는 두 입체의 밑넓이와 높이를 각각 B와 h로 놓고 원기둥 Bh, 원뿔 1/3Bh를 나란히 적었다. 이어 72π를 세 등분해 24π를 구하고, 원뿔 모형 세 개와 원기둥 하나의 관계가 보이도록 그림에 3:1 표시를 남겼다.

같은 숫자를 다시 쓰는 데서 멈추지 않았다. 밑넓이 15cm², 높이 6cm인 새 자료에서 학생은 각기둥을 15×6=90cm³로 구한 다음, 각뿔에는 1/3을 적용해 30cm³라고 기록했다.

다음 점검에서는 밑면 모양과 수치가 달라져도 기둥과 뿔의 관계를 3:1로 먼저 표시하는지 살핀다. 각 값을 정확히 구하고, 같은 밑넓이와 높이라는 이유만으로 두 부피를 같게 적지 않으면 이 풀이 기준이 유지된 것으로 본다.