평화동수학과외

상자 전개도에서 윗면 자리는 비어 있는데, 답안의 식에는 8×5가 두 번 들어가 있었다. 초6 학생이 가로 8cm, 세로 5cm, 높이 3cm인 뚜껑 없는 상자의 겉넓이를 구하며 적은 식은 2(8×5+8×3+5×3)이었다.

처음 판단은 직육면체 겉넓이를 구할 때 서로 같은 세 면의 넓이를 모두 두 배 한다는 방식이었다. 그래서 상자에 뚜껑이 없는 조건이 식에 반영되지 않았고, 전개도에 실제로 있는 면을 고르는 과정도 생략되었다.

체크한 면의 수와 식의 항 수가 맞지 않았던 기록

답안에서는 전개도에 포함되는 면에 체크 표시를 했지만, 체크한 면의 수와 식에 들어간 항의 수가 일치하지 않았다. 특히 윗면 자리가 비어 있는데도 밑면 넓이인 8×5를 두 번 적은 점에서, 곱셈 계산보다 먼저 상자의 바깥면을 세지 않은 것이 드러났다.

뚜껑 없는 상자에는 밑면 8×5가 한 장, 긴 옆면 8×3이 두 장, 짧은 옆면 5×3이 두 장 있다. 따라서 겉넓이는 8×5+2(8×3)+2(5×3)=40+48+30=118cm²로 계산해야 한다.

공식보다 먼저 다섯 면을 색칠한 수정 과정

수정한 전개도에서는 실제로 포함되는 다섯 면만 색칠했다. 이어 밑면·긴 옆면·짧은 옆면을 각각 1장·2장·2장으로 적고, 그 개수를 식의 계수와 연결했다. 이 과정을 거치면서 ‘세 쌍을 두 배 한다’는 판단은 ‘전개도에서 존재하는 면을 먼저 고른다’는 기준으로 바뀌었다.

조건이 달라진 포장 상자에서 확인한 새 기준

다음 문제에서는 한쪽 옆면도 열린 포장 상자가 제시되었다. 학생은 외운 공식부터 적지 않고 전개도에서 남아 있는 면을 먼저 골랐으며, 같은 크기의 면끼리 묶어 넓이를 계산했다.

이제 완료 여부는 정답만으로 판단하지 않는다. 열린 면의 위치가 달라진 새 상자에서도 실제 존재하는 면을 먼저 표시하고, 표시한 면의 수와 식에 들어간 계수가 일치하면 풀이 절차가 유지된 것으로 본다. 평화동수학과외에서 살펴본 이 기록은 겉넓이 공식을 아는 것과 주어진 입체의 면을 정확히 선택하는 일이 다를 수 있음을 보여 준다.