강서동수학과외

고3 원뿔곡선 공책에는 쌍곡선 x²/9-y²/4=1의 점근선을 구하는 과정이 남아 있었다. 학생은 분모 9와 4를 더해 √13을 만든 뒤, 그 값을 직선의 기울기에 넣었다. 식을 계산한 흔적만 보면 공식 선택의 문제처럼 보이지만, 답안의 줄 배치를 함께 살펴보면 판단이 시작된 지점이 달랐다.

한 줄에 섞인 초점 관계와 점근선 식

답안에는 초점 거리에서 사용하는 a²+b² 표시와 점근선 식이 한 줄에 섞여 있었다. 반면 곡선의 우변을 0으로 바꾸어 두 직선으로 분해하는 과정은 없었고, 점근선으로 확인해야 할 y=±(2/3)x도 적혀 있지 않았다.

처음 학생이 사용한 기준은 쌍곡선에 나온 두 분모를 점근선에서도 더해야 한다는 것이었다. c²=a²+b²라는 초점 관계를 직선의 기울기를 구하는 규칙으로 옮겨 적용하면서 √13이 점근선 기울기 칸에 들어갔다.

우변을 0으로 바꾸면 드러나는 두 직선

기록을 다시 정리하면 문제는 원뿔곡선 공식을 전혀 모르는 데 있지 않았다. 초점에 쓰는 관계와 점근선을 구하는 절차를 구분하지 않은 것이 출발점이었다.

점근선은 곡선의 우변을 0으로 둔 식에서 확인한다.

x²/9-y²/4=0을 차의 제곱으로 분해하면

(x/3-y/2)(x/3+y/2)=0

이므로 두 일차식을 각각 0으로 놓는다. 그 결과는 y=(2/3)x, y=-(2/3)x이고, 초점 거리 c를 계산할 필요 없이 점근선의 기울기를 얻을 수 있다.

공책의 칸을 나누고 그래프까지 확인하기

교정 과정에서는 식 옆에 ‘초점’과 ‘점근선’ 칸을 따로 만들었다. 점근선 칸에서는 우변을 0으로 바꾼 다음 차의 제곱으로 인수분해하고, 두 인수가 각각 0인 경우를 풀어 두 직선을 적었다.

계산 결과를 식으로만 끝내지 않고 원래 그래프에 두 직선을 그어 방향도 확인했다. 이 절차를 거치면서 분모를 더해 만든 수가 아니라, 인수분해에서 나온 계수가 기울기를 결정한다는 기준이 풀이 기록에 남게 되었다.

평행이동된 식에서 확인한 독립 적용

새 문제는 중심이 이동한 (x-1)²/16-(y+2)²/9=1이었다. 이번에는 분모를 더하지 않고 먼저 우변을 0으로 바꾸었다.

(x-1)²/16-(y+2)²/9=0을 분해해 y+2=±(3/4)(x-1)을 적었다. 이는 점근선이 기울기 ±3/4를 가지며 중심 (1,-2)을 지난다는 뜻이다.

새 쌍곡선에서도 중심을 식에 반영하고, 우변 0의 식을 두 일차식으로 분해한 뒤 얻은 기울기와 중심 통과 여부를 확인하면 이 교정이 유지된 것으로 판단할 수 있다.