복대동수학과외

원탁에 서로 다른 6명을 앉히는 문제의 답안에는 여섯 자리마다 번호가 붙어 있었다. 학생은 한 배치를 회전한 그림도 별도의 배열로 보고 6!=720을 적었지만, 그림 속 이웃 관계는 그대로였다. 회전해 같은 배치를 하나로 묶는 표시가 빠진 상태였다.

순서가 달라 보인다는 판단과 원형 배열의 기준

처음 판단은 사람이 앉는 순서가 눈에 다르게 보이면 모두 다른 경우라는 것이었다. 일렬 배열에서는 자리가 고정되어 있으므로 6!을 사용할 수 있지만, 원탁에서는 전체를 함께 돌린 배열이 같은 배치가 된다. 따라서 모양이 달라 보이는지보다 회전 후 이웃 관계가 같은지를 먼저 확인해야 한다.

A를 위에 둔 뒤 남은 다섯 자리

교정할 때는 A의 자리를 원탁 그림의 위쪽에 고정했다. 이제 회전으로 같은 배치가 반복되지 않으며, 남은 B부터 F까지 다섯 명을 다섯 자리에 배열하므로 경우의 수는 5!=120이다.

처음의 6!과 비교하면 회전한 여섯 배치가 하나의 묶음이 된다. 그래서 6!/6=5!=120으로 계산 결과를 다시 확인할 수 있다. 이 과정은 계산 실수라기보다 원형 배열에서 기준 자리를 정하지 않은 판단 절차의 문제를 보여 준다.

인원이 바뀐 원탁에서 드러난 기준

조건을 바꾼 새 문항에서는 서로 다른 7명을 원탁에 앉혔다. 학생은 한 사람을 먼저 고정하고 나머지 6명을 배열하여 6!=720으로 계산했다. 같은 문제를 다시 푼 것이 아니라, 인원 수가 달라진 상황에서도 회전 중복을 제거하는 절차를 독립적으로 꺼낸 것이다.

다음 자료에서도 인원 수가 달라졌을 때 기준 한 명을 먼저 고정했는지, 남은 인원만 순열로 계산했는지 확인한다. 회전해 같은 배치가 왜 한 번만 세어지는지 설명하고 이 절차를 유지하면 해당 풀이의 점검을 마친 것으로 본다.