광천동수학과외

고3 명제 답안에서 “p→q의 대우를 쓰라”는 문항을 확인했을 때, 답안의 q→p 옆에는 ‘역’과 ‘대우’라는 표시가 함께 남아 있었다. 그러나 실제 결과식은 q→p 하나뿐이었다. 조건과 결론의 위치를 바꾸는 조작, 두 명제를 부정하는 조작이 한 줄 안에서 분리되지 않은 상태였다.

앞뒤를 바꾸면 대우가 된다고 본 첫 판단

학생은 p와 q의 위치만 바꾸면 원명제와 같은 진릿값을 갖는 대우가 된다고 판단했다. 그래서 p→q에서 q→p를 적었지만, 이 식은 원명제의 역이다. 대우는 방향만 바꾸는 식이 아니라 조건과 결론을 각각 부정한 뒤 순서를 바꾸는 식이어야 한다.

답안에서 드러난 구분의 빈자리

기호 자체를 몰라서 생긴 문제는 아니었다. 원명제 p→q 아래에 ‘역’과 ‘대우’를 함께 적은 기록을 보면 네 가지 관계를 구분하려는 시도는 있었다. 다만 q→p와 ¬q→¬p를 각각 어떤 조작으로 만드는지 연결하지 못해, 앞뒤 교환만 하고 대우라고 표시한 것이 오류의 시작점이었다.

명제의 관계를 한 번에 확인하기 위해 수정 칸을 네 부분으로 나누었다. 원명제는 p→q, 역은 q→p, 이는 ¬p→¬q, 대우는 ¬q→¬p로 적었다. 이렇게 나누면 방향을 바꾸는 일과 두 진술을 부정하는 일이 서로 다른 절차라는 점이 답안에 드러난다.

네 칸 기록과 진리표 대조

각 칸에 식을 적은 뒤 원명제와 대우가 같은 진릿값을 갖는지 진리표를 한 줄씩 대조했다. 이 확인은 q→p가 대우인지 감으로 판단하지 않고, ¬q→¬p가 원명제와 같은 결과를 내는지 직접 비교하는 과정이었다. 따라서 계산을 다시 하는 문제라기보다, 명제 변환 순서를 답안에 남기는 교정이었다.

문장으로 바뀐 새 문항에서의 재적용

이후 조건이 달라진 새 문항에서 “x가 4의 배수이면 x는 짝수이다”의 대우를 문장으로 쓰게 했다. 학생은 앞뒤 단어만 바꾸지 않고, 먼저 두 진술을 부정한 뒤 순서를 전환해 “x가 짝수가 아니면 x는 4의 배수가 아니다”라고 적었다. 기호 p와 q가 사라진 상황에서도 같은 판단 기준이 독립적으로 나타난 장면이다.

다음 자료에서는 기호와 문장 형식이 달라져도 역과 대우를 구별하는지 확인한다. 대우를 적은 답안에 두 명제의 부정이 모두 나타나고 방향 전환까지 확인되면, 이번 교정은 완료된 것으로 본다.