구포동수학과외

답안에서 먼저 눈에 들어온 것은 ‘최솟값 없음’이라는 문장 옆에 정의역의 양 끝점이 비어 있었다는 사실이었다. 그래프에는 꼭짓점 (2, 5)만 표시되어 있었고, x=-1과 x=4에서는 점이나 함수값을 확인한 흔적이 없었다.

문제의 함수는 f(x)=-(x-2)^2+5, 정의역은 -1≤x≤4이다. 학생은 아래로 열린 그래프라는 기억을 먼저 적용해 꼭짓점에서 최댓값 5를 찾은 뒤, 최솟값은 없다고 판단했다. 전체 실수에서 아래로 열린 이차함수의 양상이 아래쪽으로 계속 이어진다는 점을 제한된 정의역에도 그대로 가져온 것이다.

꼭짓점만 남은 그래프에서 빠진 후보

기록을 다시 계산해 보면 문제는 완전제곱식의 의미를 모르는 데 있지 않았다. 닫힌구간에서는 꼭짓점이 정의역 안에 있는지 확인하고, 구간의 양 끝점도 함께 후보로 삼아야 한다. 따라서 이 함수에서는 x=-1, x=2, x=4를 비교 대상으로 만들어야 한다.

x	f(x)	후보 위치
-1	-4	왼쪽 끝점
2	5	꼭짓점
4	1	오른쪽 끝점

수정 풀이에서는 정의역을 수직선으로 먼저 표시하고, 후보 x값을 표에 적었다. 이어서 f(-1)=-4, f(2)=5, f(4)=1을 계산해 최댓값은 5, 최솟값은 -4로 정리했으며 각 값이 발생하는 x도 함께 남겼다. 그래프의 개방 방향만으로 결론을 내리던 방식에서, 제한된 범위 안의 후보를 실제로 비교하는 방식으로 풀이 순서가 바뀐 셈이다.

이후 축이 정의역 밖에 있는 위로 열린 이차함수로 조건을 바꾼 새 자료에서도 같은 절차가 나타났다. 학생은 개구 방향만 보고 답을 정하지 않고, 꼭짓점이 정의역에 포함되는지 살핀 뒤 두 끝점의 함수값을 표에 모아 최댓값과 최솟값을 결정했다. 같은 문제를 다시 푼 것이 아니라 숫자와 조건이 달라진 상황에서 판단 기준을 혼자 꺼낸 장면이었다.

다음 점검에서 확인할 부분은 정답의 개수가 아니다. 제한된 정의역의 새 문제에서 꼭짓점과 양 끝점을 빠짐없이 후보로 만들고, 함수값과 발생 위치를 모두 비교했는지가 완료 기준이다. 그래프 모양에 대한 설명만 있고 끝점 계산이 없다면 풀이를 마친 것으로 보지 않고 다시 확인한다.