부산북구수학과외

고1 행렬 공책에는 2×2 행렬 A에 대해 AI=A가 되게 하는 행렬 I를 고르는 문제가 남아 있었다. 학생이 선택한 것은 모든 원소가 1인 행렬이었다. 그 행렬을 A에 곱하자 결과의 각 행에는 같은 행의 원소합이 반복되어 원래 A와 달라졌다.

행렬 곱셈 결과가 보여 준 첫 단서

답안에는 곱셈 결과만 적혀 있었고, 주대각선에 1을 놓고 나머지 칸에 0을 표시하는 과정은 비어 있었다. IA=A인지 확인하는 검산도 하지 않았다. 따라서 처음 선택은 숫자 1이 곱셈에서 값을 바꾸지 않는다는 생각을 행렬 전체에 그대로 적용한 판단에서 출발했다.

하지만 행렬 곱셈은 같은 위치의 원소끼리 곱하는 방식이 아니다. 행렬 A의 각 행과 I의 각 열을 곱해 더하므로, 모든 칸이 1인 행렬을 오른쪽에 곱하면 A의 한 행에 있는 원소합이 결과의 여러 위치에 반복된다.

필요했던 것은 크기가 아니라 선택 구조였다

기록을 다시 보면 빠진 부분은 결과 행렬의 크기가 아니었다. A의 한 원소만 그대로 꺼내려면 해당 위치에는 1을 두고, 다른 위치의 영향을 없애는 칸에는 0을 둬야 했다.

2×2 단위행렬은 I=[[1,0],[0,1]]로 표시한다. 주대각선의 1은 같은 위치의 원소를 남기고, 비대각선의 0은 다른 위치의 원소가 섞이지 않게 한다. 이 구조일 때 일반적인 2×2 행렬 A에 대해 AI=A와 IA=A가 성립한다.

색으로 나눈 열과 두 번의 검산

교정 과정에서는 단위행렬의 첫 번째 열이 A의 첫 번째 열만 남기고, 두 번째 열이 A의 두 번째 열만 남기는 과정을 색으로 구분했다. 숫자 1을 단순히 ‘그대로 두는 수’로 외우는 대신, 어느 원소를 선택하고 어느 원소를 제거하는지 행렬 곱셈의 열과 연결해 확인한 것이다.

이후 AI를 직접 계산한 뒤 결과가 A와 같은지 살폈고, 같은 방식으로 IA도 계산했다. 오른쪽에서 곱할 때와 왼쪽에서 곱할 때 각각 필요한 행과 열의 조합을 확인하면서 두 결과가 모두 A로 돌아오는지 비교했다.

3×3에서 모양이 아니라 기준을 꺼내다

새 자료의 3×3 행렬에서는 2×2 모양을 그대로 옮기지 않았다. 학생은 주대각선 세 칸에 1을 놓고, 나머지 여섯 칸에는 0을 배치했다. 이어 BI₃=B를 한 행씩 계산하며 각 행의 원소가 원래 B에서 같은 위치로 남는지 검산했다.

이 독립 재적용은 단위행렬을 특정 모양으로만 기억한 것이 아니라, 정사각행렬의 크기가 달라져도 주대각선과 비대각 원소를 구분하는 기준을 사용했음을 보여 준다. 다음 점검에서는 크기가 다른 정사각행렬에서도 단위행렬을 직접 만들고, 왼쪽과 오른쪽 곱이 원래 행렬을 보존하는지 확인하는 것을 완료 기준으로 삼는다.