금성동수학과외

기댓값 식 0·k+1·2k+2·3k은 적혀 있었지만, 오른쪽 등호는 비어 있었다. 고3 확률분포표에서 X=0, 1, 2에 대응하는 확률이 각각 k, 2k, 3k로 주어진 상황이었다.

답안에는 확률의 합을 확인한 흔적이 없었다. 표의 세 확률을 모두 더한 표시도 빠져 있었고, 학생은 미지수 k를 구하려면 먼저 기댓값을 계산해야 한다고 판단한 것으로 보였다.

기댓값보다 먼저 적어야 했던 식

처음 선택한 기준은 확률변수의 값과 확률을 곱하는 기댓값 공식이었다. 하지만 이 식만으로는 k를 정할 수 없고, 주어진 기댓값 값도 제시되지 않았기 때문에 식의 오른쪽을 채울 근거가 없었다.

이 표에서 k를 결정하는 출발점은 확률분포의 정규화 조건이었다. 모든 확률의 합은 1이어야 하므로 k+2k+3k=1을 먼저 세워야 했다. 따라서 6k=1, k=1/6이 된다.

두 줄로 나눈 뒤 달라진 검산 순서

풀이를 교정할 때는 표 아래에 ‘확률의 합’과 ‘기댓값’을 각각 다른 줄에 나누어 적었다. 첫 줄에서 k+2k+3k=1을 이용해 k를 구하고, 그 값을 확률 칸에 대입했다.

대입한 확률들이 음수가 아닌지 확인하고 세 확률의 합이 다시 1이 되는지도 검산한 뒤에야 기댓값 식으로 넘어가도록 순서를 정리했다. 이는 계산을 더 오래 하는 방식이 아니라, 미지수를 결정하는 조건을 먼저 분리한 것이다.

네 칸으로 바뀐 표에서 확인한 독립 적용

이후 확률이 c, 2c, 2c, 5c로 주어진 새 표에서는 이전처럼 값×확률 식부터 시작하지 않았다. 학생은 네 확률의 합을 먼저 세워 c+2c+2c+5c=1, 즉 10c=1을 적고 c=0.1을 구했다.

각 확률에 c=0.1을 대입한 뒤 모든 값이 0 이상인지 확인했다. 확률값과 계수가 달라진 문제에서도 같은 판단 기준을 혼자 꺼내 썼다면, 다음 점검에서 확인할 준비가 된 것으로 볼 수 있다.

표의 숫자보다 먼저 보는 한 칸

다음에는 확률값과 계수가 달라진 분포표를 제시하고, 첫 표시가 확률의 합인지 살핀다. 모든 칸이 0 이상인지 확인한 뒤 다른 통계량으로 넘어가는 순서가 유지되면 교정이 이어진 것으로 판단한다.