두구동수학과외

답안의 첫 줄에는 f(u)=-u와 g(x)=1/x 옆에 각각 아래쪽 화살표가 그려져 있었고, 합성한 h(x)=f(g(x))에도 감소라고 적혀 있었다. 고2 합성함수의 증감을 판단하는 과정에서 학생은 감소함수 안에 감소함수를 넣으면 감소 성질이 그대로 이어진다고 보았다.

두 번의 방향 전환을 식으로 이어 보기

기록을 순서대로 펼치면 빠진 부분이 분명했다. 두 함수의 옆에 방향 표시는 있었지만, 첫 입력이 g를 거치며 어떻게 바뀌고 그 결과가 다시 f에서 어떻게 변하는지 연결한 표는 없었다. h(x)=-1/x를 얻은 뒤에도 도함수 1/x²를 계산하지 않았다.

처음 판단의 기준은 ‘감소 안의 감소는 감소’라는 성질의 복사였다. 그러나 x1<x2이면 g(x1)>g(x2)이고, 감소함수 f에 이 순서를 넣으면 f(g(x1))<f(g(x2))가 된다. 입력 방향이 한 번 뒤집힌 뒤 출력에서 다시 뒤집히므로 합성 결과는 증가한다.

화살표 두 줄과 도함수 부호를 함께 남긴 기록

교정할 때는 결과만 고쳐 쓰지 않고, x1<x2에서 시작하는 두 줄의 화살표를 답안에 남겼다. 첫 줄은 g(x1)>g(x2), 둘째 줄은 f(g(x1))<f(g(x2))로 이어졌다.

같은 결론은 도함수로도 확인했다. f′(u)=-1, g′(x)=-1/x²이므로

h′(x)=f′(g(x))g′(x)=(-1)(-1/x²)=1/x²>0

이다. 따라서 정의역인 x>0에서 h는 증가한다. 두 방향을 합성 순서대로 적고 부호의 곱까지 확인하는 절차가 기존의 판단 기준을 대신했다.

다른 식에서도 꺼내 쓴 방향 연결

이후 조건이 바뀐 새 자료에서는 x<2에서 f(u)=u²(u>0), g(x)=2-x를 합성했다. 학생은 먼저 f는 증가하고 g는 감소한다는 방향을 합성 순서에 맞춰 연결한 뒤, h(x)=(2-x)²의 도함수 부호로 그 결론을 검산했다.

새 문제에서 중요한 확인 지점은 함수 이름이나 식의 모양이 아니라 정의구간과 합성 순서였다. 다음 자료에서도 각 함수의 방향을 순서대로 연결하고, 도함수 부호의 곱과 같은 결론이 나오는지가 완료 기준이 된다.