기장읍수학과외

고2 수열 관계표에는 위아래 화살표가 모두 참으로 연결된 흔적이 남아 있었다. 첫 줄의 ‘수렴 ⇒ 유계’는 올바르게 적혀 있었지만, 바로 아래에는 설명 없이 ‘유계 ⇒ 수렴’까지 참으로 표시되어 있었다.

한 방향의 명제를 양방향으로 넓힌 판단

처음 학생이 사용한 기준은 한 방향의 명제가 참이면 조건과 결론을 바꾼 문장도 자연스럽게 참일 것이라는 생각이었다. 수렴하는 수열이 유계라는 성질을 기억하면서, 유계인 수열은 충분히 수렴한다고 받아들인 것이다. 필요조건과 충분조건의 방향이 한 관계표 안에서 합쳐졌다.

비어 있던 반례 칸이 보여 준 오류의 시작점

답안에는 반례 칸과 (-1)ⁿ 같은 진동수열 표시가 비어 있었다. 두 낱말이 같게 반복된다는 점만 보고 관계를 뒤집었고, 역이 성립하는지 시험하는 단계는 생략했다.

기록에서 확인된 원인은 수렴 정의 전체를 모르는 문제가 아니었다. ‘수렴수열은 유계’라는 명제와 그 역이 서로 다른 판단이라는 점을 분리하지 못한 데 있었다. 유계이지만 값이 한 곳으로 가까워지지 않는 수열을 대입해 보는 검증이 빠졌기 때문이다.

(-1)ⁿ을 표로 옮겨 역을 따져 본 수정

수정표에서는 ‘수렴한다’를 조건 칸에, ‘유계이다’를 결론 칸에 두었다. 그래서 수렴 ⇒ 유계만 화살표로 남기고, 역을 검토할 때는 (-1)ⁿ을 적었다. 이 수열은 값이 -1과 1 사이에 있어 유계이지만 두 값 사이를 계속 오가므로 하나의 값으로 가까워지지 않는다.

조건이 하나 달라진 새 문항에서 다시 정한 화살표

다음 문항에서는 ‘단조증가하고 위로 유계인 수열은 수렴한다’는 문장과, 그중 조건 하나를 뺀 문장이 함께 제시되었다. 학생은 두 문장의 조건을 따로 적은 뒤, 단조성 없이 유계만 남은 경우에는 (-1)ⁿ을 반례로 사용했다.

이때 이전 문장의 화살표를 그대로 옮기지 않고 조건의 개수를 다시 확인했다. 새 관계 문항에서 원명제와 역의 화살표를 각각 쓰고, 참이면 필요한 논리를, 거짓이면 조건을 만족하는 구체적 반례와 그 이유를 제시하는 것이 다음 점검의 기준이다.