대구남산동수학과외

대응표에서 f(x)=(x-1)²의 식을 확인한 뒤 학생은 곧바로 x와 y를 바꾸고 f⁻¹(x)=1+√x를 적었다. 식을 y에 대해 정리하는 과정만 보면 자연스러운 답처럼 보였지만, 원래 그래프에 수평선을 그어 보니 대부분 두 점에서 만났다. 한 y값에 두 x값이 대응하는지 묻는 칸은 비어 있었고, x<1 쪽의 점들이 역함수 식에서 사라진 이유도 답안에 남아 있지 않았다.

식 교환보다 먼저 확인해야 했던 그래프의 두 교점

처음 판단 기준은 함수식에서 x와 y를 바꾼 뒤 y를 풀 수 있으면 역함수가 존재한다는 것이었다. 그러나 전체 실수에서 f(x)=(x-1)²는 x=1을 기준으로 양쪽 가지를 가지므로 일대일 함수가 아니다. 따라서 제곱근을 계산하는 능력의 문제가 아니라, 역함수가 정의되기 위한 일대일 조건을 확인하지 않은 것이 답안의 출발점이었다.

교정할 때는 그래프에 수평선을 직접 그어 두 교점을 표시하고, 정의역 제한 칸에 x≥1을 먼저 적었다. 이 제한으로 오른쪽 가지 하나만 남기면 식을 바꾸어 정리한 결과가 y=1+√x가 된다. 원함수의 정의역이 x≥1이고 치역이 y≥0인 점, 역함수의 정의역이 x≥0이고 치역이 y≥1인 점도 서로 맞바뀌는지 확인했다.

왼쪽 가지를 고른 새 함수에서 확인한 부호

같은 식을 다시 푸는 데서 멈추지 않았다. 새 함수 f(x)=(x+2)² 에서 정의역이 x≤-2 로 제한된 경우, 학생은 그래프의 왼쪽 가지 방향을 보고 제곱근의 양수 가지만 기계적으로 선택하지 않았다. 제한된 구간에 맞춰 역함수를 f⁻¹(x)=-2-√x 로 구했으며, 수평선 검사와 정의역·치역 교환이 함께 맞는지도 살폈다.

다음 이차함수의 모양이 달라져도 완료 여부는 정답 식 하나로 판단하지 않는다. 수평선 검사를 먼저 남겼는지, 필요한 정의역 제한을 적었는지, 선택한 제곱근 부호가 제한 구간 및 정의역·치역 교환과 일치하는지를 답안에서 확인하는 방식으로 점검한다.