대전봉명동수학과외

답안에는 “곱이 0이면 한쪽이 0”이라는 문장이 적혀 있었지만, 그 아래 행렬 곱셈 칸은 비어 있었다. 고1 학생은 AB=O이면 A=O 또는 B=O이다라는 명제를 실수의 영인수 성질과 같은 방식으로 판단해 ‘참’이라고 표시했다.

처음 사용한 기준은 수의 곱에서 익숙했던 성질을 행렬 곱에도 그대로 적용하는 것이었다. 연산 대상이 바뀌었는데도 행렬의 행과 열을 직접 계산하지 않고, 기억하고 있던 문장을 먼저 가져온 점이 판단의 출발점이었다.

비어 있던 곱셈 칸이 보여 준 명제의 빈틈

A=[1 0; 0 0], B=[0 0; 0 1]을 대입하자 기록의 방향이 달라졌다. 행렬 곱의 네 성분을 계산하면

AB=[1×0+0×0, 1×0+0×1; 0×0+0×0, 0×0+0×1]=[0 0; 0 0]=O

가 된다. 그런데 A에는 1이 있고 B에도 1이 있으므로 두 행렬 모두 영행렬이 아니다. 따라서 이 기록에서 드러난 원인은 행렬 곱셈을 못해서가 아니라, 수와 행렬에서 같은 명제가 성립하는지 반례로 확인하지 않은 데 있었다. 행렬에는 영인수가 존재할 수 있어 AB=O만으로 A=O 또는 B=O라고 결론 낼 수 없다.

교정할 때는 먼저 제시된 행렬의 행과 열을 직접 곱해 네 성분을 모두 적었다. 그다음 A≠O, B≠O를 각각 확인하고, 원명제 아래에 이 두 행렬을 하나의 반례로 정리했다. 이제 수에서 사용하던 성질을 행렬에 옮길 때에는 문장을 바로 적용하지 않고, 연산 결과와 영행렬 여부를 먼저 검사하는 절차를 사용한다.

새 명제에서 직접 만든 반례로 마친 점검

같은 문제를 다시 푸는 데서 멈추지 않고, 조건을 바꾼 새 명제 A²=O이면 A=O이다에 이 기준을 적용했다. 학생은 A=[0 1; 0 0]을 스스로 선택해

A²=[0 1; 0 0][0 1; 0 0]=[0 0; 0 0]=O

임을 계산했다. 동시에 A 자체에는 1이 있으므로 A≠O임을 기록해 새 명제도 반례로 판정했다. 다음 행렬 참·거짓 문항에서 임의의 수를 대입하는 데 그치지 않고, 행렬 반례와 곱셈 결과, 영행렬 여부를 함께 남기면 이번 교정이 유지된 것으로 본다.